Ознака подільності на 5, приклади, доказ ознаки

Спочатку доведемо допоміжне твердження: твір a1 · 10. де a1 - ціле число, ділиться на 5.

Число 10 ділиться на 5. так як 10 = 5 · 2. тоді твір a1 · 10 теж ділиться на 5 в силу наступного властивості подільності: якщо ціле число a ділиться на ціле число b. то твір m · a. де m - будь-яке ціле число, ділиться на b.

Тепер переходимо до доведення теореми.

Правило множення на 10 дозволяє будь-яке ціле число a. запис якого закінчується нулем, представити у вигляді a = a1 · 10. де число a1 виходить з числа a. якщо в його записи праворуч прибрати цифру 0. Якщо ж в запису числа a справа знаходиться довільна цифра a0 (a0 - це 0 або 1. або 2. ..., або 9), то a можна представити у вигляді a = a1 · 10 + a0 . Для пояснення наведемо приклад такого уявлення 54 327 = 5 432 · 10 + 7.

Подальше доказ засноване на наступному властивості подільності: якщо в рівність a = s + t всі члени, крім якогось одного, діляться на деяке ціле число b. то і цей один член ділиться на b.

У рівності a = a1 · 10 + a0 твір a1 · 10 ділиться на 5 (що ми показали на початку теореми). Якщо a0 ділиться на 5 (що можливо, якщо a0 = 0 або a0 = 5), то за вказаною властивості подільності на 5 ділиться і число a. Цим доведена достатність. З іншого боку, якщо a ділиться на 5. то за вказаною властивості подільності і a0 ділиться на 5. Так доведено необхідність.

Інші випадки подільності на 5

У цьому пункті ми розглянемо завдання, в яких потрібно з'ясувати, чи ділиться значення деякого виразу на 5. Почнемо з прикладу, в якому отримати рішення дозволяє ознака подільності на 5.