Основні правила інтегрування, рішення математичних задач

Основні правила інтегрування.

Назад Зміст Вперед
1. Винесення функції з-під знака диференціала.

приклад:

2. Внесення функції під знак диференціала.
. де. тобто є первісною.
приклад:

[Знайдемо первісну функції]

підсумок:
3. Множник-константу можна виносити за знак диференціала і вносити під нього (окремий випадок першого і другого правил).

приклад:
.
4. Під знаком диференціала можна додавати або віднімати будь-яку константу (окремий випадок другого правила).

приклад:

Наступні два правила не відносяться до математичних формул, проте їх недотримання є однією з найбільш частих помилок початківців.

Однакове має бути однаковим.

Якщо в табличній формулою деякі її частини позначені однаковими символами, то і в вираженні, до якого буде застосована ця формула, відповідні частини повинні бути однакові.

приклад:

Для знаходження цього інтеграла необхідно застосувати другий табличний інтеграл. проте, в його записи знаменник і змінна інтегрування однакові, а в досліджуваному інтегралі немає. Скористаємося четвертим правилом, описаним вище: додамо одиницю під знаком диференціала.

Тут, для більшої наочності, можна зробити заміну
.

Правило рівноваги.

Якщо виникає необхідність помножити будь-яку частину виразу на константу, то тут же необхідно виконати зворотну дію, тобто поділ, на ту ж константу.

приклад:

Тут необхідно скористатися третім табличним інтегралом
,
але, за попереднім правилом, в знаменнику перший доданок має дорівнювати змінної диференціювання, яка була зведена в квадрат. Проведемо відповідні перетворення: домножимо під знаком диференціала на 3 та поділимо інтеграл на 3. Оскільки вже сказано, що множник-константу можна виносити як за знак диференціала, так і за знак інтеграла, а також можна вносити його назад, то байдуже де виконати зворотну дію. В даному випадку зручніше врівноважує коефіцієнт поставити перед інтегралом.

Зробимо заміну. Скористаємося табличній формулою, а потім і зворотний заміну.
. Це і є відповідь.

Приклади застосування основних правил інтегрування.

Приклад 1. Обчислити інтеграл:

[Для того, щоб застосувати табличний інтеграл №2, тобто отримати натуральний логарифм, необхідно, щоб змінна інтегрування і знаменник були однаковими. Скористаємося третім правилом:]

[Скористаємося четвертим правилом і додамо під знаком диференціала 3.]
[Зробимо заміну] [Скористаємося табличним інтегралом №2] [Зробимо зворотний заміну]
Відповідь:.
Приклад 2. Обчислити інтеграл:

[На перший погляд незрозуміло до якого табличному інтегралу прагнути, тому що ні в одній з формул немає ситуації, що в чисельнику стоїть перша ступінь, а в знаменнику друга. Застосуємо друге правило: внесемо під знак диференціала. Знайдемо для цього первісну для:. Тобто: ]

[По третьому правилу домножимо і поділимо відповідні частини інтеграла на 4]
[По четвертому правилом]
[Зробимо заміну і скористаємося табличним інтегралом №2]

відповідь:

Завдання для самостійного рішення:
Завдання 1. Обчислити невизначений інтеграл:

+ Показати / заховати підказку №1.

1) Записати інтеграл у вигляді суми двох інтегралів, скориставшись властивістю дробів:

+ Показати / заховати підказку №2.

2) В першому з вийшов інтегралів занести під диференціал. . У другому застосувати табличний інтеграл №4, де.

+ Показати / заховати підказку №3.

3) У першому інтегралі, за правилом №4 під знаком диференціала відняти трійку і зробити відповідну заміну.

+ Показати / заховати Рішення і Відповідь.

Завдання 2. Обчислити невизначений інтеграл:

+ Показати / заховати підказку №1.

1) Зробити змінну інтегрування рівною. Для цього в диференціалі помножити на 45, а перед інтегралом додати співмножник. Зробити заміну.

+ Показати / заховати підказку №2.

2) Записати тангенс як відношення синуса до косинусу.

+ Показати / заховати підказку №3.

3) Занести синус під диференціал:.

+ Показати / заховати Рішення і Відповідь.

Завдання 3. Обчислити невизначений інтеграл:

+ Показати / заховати підказку №1.

+ Показати / заховати підказку №2.

2) Оскільки , То, за правилом занесення під знак диференціала:

+ Показати / заховати підказку №3.

3) Зробити заміну застосувати табличний інтеграл №1.

+ Показати / заховати Рішення і Відповідь.

Зауваження: Незалежно від рівня знань правил і прийомів інтегрування настійно рекомендується завчити наступні рівності, найчастіше використовувані в тестових завданнях: