Основні методи інтегрування
1. Безпосереднє інтегрування
Під безпосереднім інтегруванням розуміють такий спосіб інтегрування, при якому даний інтеграл шляхом тотожних перетворень підінтегральної функції і застосування властивостей невизначеного інтеграла приводиться до одного або кількох табличних інтегралів.
Приклад 1. Знайти
Розділивши чисельник на знаменник, отримаємо:
=
Відзначимо, що немає потреби після кожного доданка ставити довільну постійну, тому що їх сума є також довільна постійна, яку ми пишемо в кінці.
Приклад 2. Знайти
Перетворимо підінтегральної функції наступним чином:
.
Застосувавши табличний інтеграл 1, отримаємо:
.
.
.
=
=.
У деяких випадках знаходження інтегралів спрощується застосуванням штучних прийомів.
Приклад 6. Знайти
Помноживши підінтегральний вираз на знаходимо
= .
.
.
2. Інтегрування методом заміни змінної
Обчислити заданий інтеграл безпосереднім інтегруванням вдається далеко не завжди, а іноді це пов'язано з великими труднощами. У цих випадках застосовують інші прийоми. Одним з найбільш ефективних є метод заміни змінної. Сутність його полягає в тому, що шляхом введення нової змінної інтегрування вдається звести заданий інтеграл до нового, який порівняно легко береться безпосередньо. Існують два варіанти цього методу.
а) Метод підведення функції під знак диференціала
За визначенням диференціала функції.
Перехід в цій рівності зліва направо називають "підбиттям множника
Теорема про інваріантності формул інтегрування
Будь-яка формула інтегрування зберігає свій вигляд при підстановці замість незалежної змінної будь диференціюється від неї, тобто якщо
де
З того, що, слід
.
Нехай потрібно обчислити інтеграл
.