ортогональное доповнення

Нехай V - евклідів простір зі скалярним добутком (x, y), W - підпростір V.

Безліч всіх векторів x. ортогональних всіма векторами з W. яке позначимо, називається ортогональним доповненням до подпространству W. Наведемо властивості ортогонального доповнення.

Властивість 2.3. - лінійне підпростір V.

Доведення. Нехай, тоді справедливі рівності і. З цих рівностей виводимо рівності і, тобто. Тим самим властивість доведено.

Доведення. Побудуємо прямокутний базис підпростору W і доповнимо його до ортогонального базису всього простору V. Вектори ортогональні векторах, а, отже, і будь-якого вектору з W. Отже, вектори належать ортогональному доповнення до W. Розкладемо довільний вектор x по базису і покладемо,. Оскільки x = y + z і,, то встановлено рівність.

Покажемо, що сума пряма. Нехай, тоді (x, x) = 0 як скалярний твір вектора з W на вектор з ортогонального доповнення до W. Єдиний вектор нульової довжини дорівнює 0, і, отже, перетин містить тільки нульовий вектор і сума пряма.

Доказ випливає з властивості прямої суми підпросторів.

Будь-вектор x простору V можна представити у вигляді суми вектора y з підпростору W і вектора z з, причому вектори y і z визначаються єдиним чином. Вектор y називається ортогональної проекцією x на W і позначається, а вектор z - ортогональної складової вектора x і позначається. Про способи побудови ортогональної проекції і ортогональної складової буде розмова в п.2.6.

Доведення. Застосувавши Слідство 2.4, отримаємо. Нехай x - довільний вектор з W. Оскільки для довільного вектора скалярний твір (x, y) = 0, то. Тим самим показано включення, з якого, в силу збігу розмірностей, виводимо рівність.

Нехай базис W. Вектор z належить ортогональному доповнення до W тоді і тільки тоді, коли,, ...,. Нехай базис простору V. В координатах, ці рівності перетворюються в систему лінійних рівнянь. Взявши в якості W ортогональное доповнення до нього, отримаємо наступне твердження.

Властивість 2.6. Будь-яке підпростір може бути задано системою лінійних однорідних рівнянь.

У разі, якщо базис ортонормованій, коефіцієнтами при невідомих в системі лінійних рівнянь є координати базисних векторів ортогонального доповнення.