Операції над множинами - студопедія

Якщо U - універсальна множина і АÍ U, то різниця U \ A називається доповненням множини А до множини U і позначається.

Відповідна діаграма Ейлера- Венна:

Симетричної різницею множин А і В називається множина, що позначається d В і складається з тих і тільки з тих елементів, які належать А \ В або В \ А.

Відповідна діаграма Ейлера- Венна:

Перетворимо ліву частину тотожності.

Тим самим довели вірність тотожності.

Приклад 2: Довести тотожність: Скласти двоїсте і теж довести.

Доказ справедливості рівності і двоїстого рівності за допомогою діаграм пропонуємо виконати самостійно.

Наведемо доказ справедливості даного рівності шляхом перетворень (доказ для двоїстого проведіть самостійно):

Приклад3: Довести тотожність:

Перетворимо праву частину тотожності:

5. Теорема про кількість підмножин кінцевого безлічі.

Розглянемо безліч А =, де | A | = 3, і безліч В =, де | B | = 4.

Складемо всілякі підмножини безлічі А:

Всього отримали 8 підмножин.

Складемо всілякі підмножини безлічі В:

Отримали 16 підмножин.

Використовуючи результати розглянутих прикладів, можна припустити справедливість наступного рівності: n = 2 m. де n - кількість підмножин даної кінцевого безлічі, m - потужність множини.

Справедливість припущення підтверджує теорема, яку ми приймемо без доведення.

Теорема: Якщо для кінцевого безлічі А його потужність дорівнює т, то кількість всіх підмножин даної множини, що позначається Р (А), дорівнює 2 т.

Приклад: Обчислити кількість підмножин безлічі М - дільників числа 20.

Складемо безліч М і знайдемо його потужність:

М =. Потужність | M | = 6, тоді кількість підмножин одно Р (М) = 2 6 = 64.

6. Формула включень та виключень.

Проілюструємо тепер застосування операцій над множест-вами для вирішення завдань про знаходження числа елементів мно-дружність, заданих декількома умовами. Нижче ми будемо рас-сматривать тільки кінцеві безлічі.

Приклад: У класі 30 учнів, 16 з них займаються музикою, 17 захоплюються тенісом, а 10 займаються і музикою, і тенісом. Чи є в класі учні, байдужі і до музики, і до тенісу, і якщо є, то скільки їх?

Рішення: Якщо скласти кількість учнів, які цікавляться музикою, з числом учнів, що займаються тенісом, т. Е. 16 + 17 = 33, то учні, які цікавляться і музикою, і тенісом, виявляться врахованими двічі. Тому, щоб визначити число учнів, які цікавляться музикою або тенісом, потрібно з суми 16 + 17 відняти число учнів, врахованих двічі, т. Е. Тих, хто цікавиться і музикою, і тенісом. За умовою їх 10. Таким чином, число цікавляться тенісом або музи-кою одно: 16 + 17-10 = 23 учні. А так як в класі всього 30 учнів, то 30-23 == 7 учнів байдужі і до музики, і до тенісу.

Завдання вирішена за наступним алгоритмом: нехай є дві кінцевих безлічі А і В. Тоді:

п (АÈ В) = п (А) + п (В) - п (АÇ В 1)

У нашому випадку А - безліч учнів, які цікавляться му-зикой, і n (A) = 16, В- безліч учнів, які цікавляться тенісом, і n (B) = 17, n (AÇB) = 10, і тоді за отриманою формулою n (AUВ) = 16 + 17-10 = 23.

Ускладнити завдання: нехай до тих, хто цікавиться в класі музикою - безлічі А, і до тих, хто захоплюється тенісом - безлічі В, додаються ще й ті, хто цікавиться театром- безліч С. Скільки учнів захоплюється або музикою, або тенісом, або театром, т. е. чому дорівнює число n

Якщо множини А, В і С перетинаються лише попарно, т. Е. АÇВÇС =Æ, То підрахунок можна вести, як і раніше: снача-ла скласти п (А) + п (В) + п (С), а потім відняти число тих еле-ментів, які підраховані двічі, т. Е. Відняти число n + n (AÇ C) + n (BÇ C). Якщо ж безліч АÇВÇС¹Æ,. то його елементи виявилися неврахованими: спочатку їх тричі врахували, коли складали п (А> + п (В) + п (С), а потім тричі забирали їх, віднімаючи n + n (AÇ C) + n (BÇ C).

Таким об-разом, число

менше істинного результату рівно на число елементів в пере-перетині множин АÇВÇЗ, яке і слід додати для по-лучения вірного результату:

Аналогічна формула може бути отримана для будь-якого числа множин.

У формулах (1) і (2) підраховується, скільки разів кожен елемент включається і виключається, тому їх називають фор-мулами включень і виключень.

Розглянемо кілька прикладів застосування отриманих формул.

Приклад 1: На вступному іспиті з математики були запропоновані три завдання: з алгебри, планіметрії та стереометрії. З 1000 абітурієнтів завдання з алгебри вирішили 800, по планіметрії - 700, а по стереометрії - 600 абітурієнтів. При цьому завдання з алгебри і планіметрії вирішили 600 абітурієнтів, з алгебри та стереометрії - 500, по планіметрії і стереометрії - 400. Всі три завдання вирішили 300 абітурієнтів. Суще-обхідних чи абітурієнти, які не вирішили жодної задачі, і якщо так, то скільки їх?

Рішення. Нехай U - безліч всіх абітурієнтів, А -. безліч абітурієнтів, які вирішили завдання з алгебри, В - безліч абітурієнтів, які вирішили задачу по планіметрії, С - безліч абітурієнтів, які вирішили задачу по стереометрії. За умовою n (U) = 1000, n (A) = 800, n (В) = 700, n (С) = 600, n (AÇB) = 600, n (AÇC) = 500, n (BÇC) = 400, n (AÇBÇC) = 300. У безліч AÇBÇC включені всі абітурієнти, які вирішили хо-тя б одну задачу. За формулою (2) маємо:

n (А U В U С) == 800 + 700 + 600 - 600 - 500 - 400 + 300 = 900.

Звідси випливає, що не всі вступники вирішили хоча б одну задачу. Жодної задачі не вирішили

n (U) - n (AUBUC) = 1000 - 900 == 100 (абітурієнтів).

Приклад 2: Соціологи опитали 45 учнів дев'ятих клас-сов, серед яких 25 юнаків. При цьому з'ясувалося: 30 осіб мають за півріччя оцінки 4 і 5, з них 16 юнаків, спортом займаються 28 учнів, серед них 18 юнаків, і 17 учнів, успішних тільки на добре і відмінно, 15 юнаків вчаться на добре і відмінно і займаються спортом . Перший математик класу глянув на результати і заявив, що там є помилки. Як це йому вдалося з'ясувати?

Рішення: Позначимо через А безліч юнаків, В - безліч успішних на 4 і 5, С - безліч спортсменів. За умовою завдання n (A) = 25, n (В) = 30, n (С) = 28, n (AÇB) = 16, n (AÇC) = 18, n (BÇC) = 17, n (AÇBÇC) = 15. Знайдемо загальний чис-ло учнів, які або є юнаками, чи займаються спортом, або встигають на 4 і 5. За формулою (2) отримуємо:

n (A UBUC) = 25 + 30 + 28- 16- 18- 17 + 15 = 47. Цього бути не може, так як обстежилося всього 45 учнів! Отже, в даних відомостях є помилки.

На малюнку це рішення проілюстровано за допомогою діаграми Ейлера - Венна.

У перетині множин А, В і С за-пишемо число 15, так як за умовою n (AÇBÇC) = 15. У мно-дружність AÇB \ С запишемо число 16-15 = 1, в безлічі BÇC \ А - число 18-15 = 3, в безлічі BÇC \ А-число 17-15 = 2, в безлічі A \ (BÈC) - число 25- (1 + 15 + 3) = 6, в безлічі В \ (А ÈC) - число 30- (1 + 15 + 2) = 12, в множест-ве С \ (АÈВ) - число 28- (3 + 15 + 2) = 8. Щоб знайти n (АÈВÈС), досить скласти записані числа, оскільки вони відповідають множинам, що не перетинаються між со-бій. Отримаємо число 47> 45, що неможливо за умовою задачі.

Завдання для самостійного рішення

1. Опишіть безліч М точок на площині: a); б); в).

2. Дано множини. Побудувати безліч ((d В)È(В \ С)). Знайти кількість підмножин побудованого безлічі. Показати відповідну діаграму Ейлера - Венна.

3. Довести за допомогою діаграм Ейлера - Венна справедливість закону поглинання.

4. Довести тотожності за допомогою діаграм і шляхом перетворень:

5. У відділі інституту працюють кілька людей. Кожен з них знає хоча б одну іноземну мову, причому: 6 знають німецьку, 6 - англійська, 7 - французький, 4 - англійська і німецька, 3 - німецьку та французьку, 2 - французьку та англійську, 1 - все три мови. Скільки всього людей працює у відділі? Скільки з них знають тільки англійську?

6. З 35 учнів класу 20 відвідують математичний гурток, 11 - фізичний, 10 - не відвідують гуртки. Скільки учнів відвідують математичний та фізичний гуртки одночасно, скільки - тільки математичний?

1. Поясніть поняття безлічі. Наведіть приклади множин. Як позначаються множини та їх елементи?

2. Які існують способи завдання множин?

3. За допомогою характеристичного властивості задайте кінцеве, нескінченна незліченну, нескінченне рахункове і пусте безлічі.

4. Як позначається приналежність елемента безлічі і не приналежність?

5. Які існують відносини між двома множинами?

6. Перерахуйте операції над множинами з приведенням відповідних діаграм Ейлера - Венна.

7. Перерахуйте тотожності алгебри множин.

8. Сформулюйте теорему про кількість підмножин кінцевого безлічі.

9. Запишіть формули кількості елементів в об'єднанні двох і трьох множин.