Олімпіадні завдання з алгебри (7 клас) по темі збірник олімпіад для 7 класу з математики,

1. Дано числа 1, 2, 3,4,5,6. Дозволено до будь-яких двох з них додати по одиниці. Чи можна за кілька кроків зрівняти ці числа?

Рішення. Додаток до числа одиниці змінює його парність. Додаток по 1 до двох числах змінює парність двох чисел. Якщо це були два парних числа, то парних

чисел стане на два менше, якщо два непарних, то парних стане на два більше. А якщо одне було парне, а інше непарне, то кількість парних чисел не зміниться. У будь-якому випадку парність числа парних чисел не зміниться. Іншими словами, тут парність числа парних чисел - інваріант. Але якщо в шістці все числа стануть однакові, парних серед них стане 0 або 6 - парне чісло.Ответ. Не можна.

2. Грають двоє. Перший називає довільне ціле число від 2 до 9. Другий примножує це число на довільне ціле число від 2 до 9. Потім перший множить результат на будь-яке ціле число від 2 до 9, і так далі. Виграє той, хто першим отримає твір більше 1 000. Хто при правильній грі виграє - початківець або його партнер?

Відповідь. Переможе початківець. Рішення. Очевидно, гравець, перед ходом якого вийшло число, що не менше 112 (але менше 1000), виграє. Значить, гравець, початківець з числа, не меншої 55, але меншого 112, програє (будь-який його хід дасть число в проміжку від 112 до 999). Тепер ті числа, з яких одним ходом можна отримати число від 56 до 111 (включно), є виграшними. Це числа від 8 до 55. Нарешті, числа від 4 до 7 - програшні. Таким чином, перший гравець може назвати одне з чисел від 4 до 7, і при правильній грі виграє.

3. У конференції взяли участь 100 осіб - хіміки і алхіміки. Кожному було поставлено питання: «Якщо не брати до уваги Вас, то кого більше серед інших учасників - хіміків або алхіміків?» Коли опитали 51 учасника, і все відповіли, що алхіміків більше, опитування перервався. Алхіміки завжди брешуть, а хіміки завжди говорять правду. Скільки хіміків серед учасників?

Все хіміки повинні відповісти однаково, і всі алхіміки - теж. Якщо більше хіміків, то хіміки так і скажуть, але серед 51 опитаних зобов'язаний знайтися хімік - протиріччя. Якщо ж більше алхіміків, то всі вони соврут, т. Е. Скажуть, що більше хіміків, то знову-таки серед 51 опитаних хоча б один - алхімік. Значить, хіміків і алхіміків порівну.

4. Доріжки в зоопарку утворюють рівносторонній трикутник, в якому проведено середні лінії. З клітини втекла мавпочка. Її ловлять два сторожа. Чи зможуть вони спіймати мавпочку, якщо всі троє будуть бігати тільки по доріжках, швидкість мавпочки і швидкості сторожів рівні і вони бачать один одного?

Відповідь: так, зможуть.

Рішення Наведемо, як можуть діяти сторожа, щоб зловити мавпу. Нехай спочатку перший сторож прибіжить в вершину B, а другий - в вершину C. Якщо мавпочка опинилася на одній зі сторін трикутника ABC, то сторожа йдуть назустріч один одному і ловлять мавпочку. Нехай цього не сталося. Без обмеження спільності можна вважати, що мавпочка знаходиться в правій половині зоопарку, т. Е на одній зі сторін трикутника CEF. Далі перший сторож біжить в вершину E, а другий сторож поводиться таким чином: поки мавпочка знаходиться поза відрізків BD і DE, він стоїть в вершині C, а коли мавпочка знаходиться на одному з цих відрізків, він стоїть так, щоб відстань від нього до вершини B було дорівнює відстані від мавпочки до цієї вершини. Коли перший сторож добігає до вершини E, другий переходить в ту з вершин B, C, яка лежить в тій же половині зоопарку, що і мавпочка.

В результаті або сторожа стоять в вершинах C і E, а мавпочка знаходиться на одній зі сторін трикутника CEF, або сторожа стоять в вершинах B і E, а мавпочка знаходиться на одній зі сторін трикутника BDE. В обох випадках сторожа ловлять мавпочку.

Олімпіадні завдання для 7 класу

Сума двох чисел дорівнює 13,5927. Якщо в більшому з них перенести кому на один знак вліво, то отримаємо менше число. Чому рівні ці числа?

Обчисліть. 2379 • 23782378 - 2378 • 23792379.

Один з чотирьох гангстерів вкрав валізу з грошима. На допиті Алекс сказав, що валіза вкрав Луї, Луї стверджував, що винуватець Том, Том запевняв слідчого, що Луї бреше. Жорж наполягав тільки на те, що він не винен. В ході слідства з'ясувалося, що тільки один з гангстерів сказав правду. Хто вкрав валізу?

Знайдіть площу зафарбованою фігури:

У кожній клітині шахівниці 5x5 сидить жук. В деякий момент по команді все жуки переповзають на сусідні (по горизонталі або по вертикалі) клітини. Доведіть, що при цьому одна з клітин обов'язково залишиться порожньою.

Ліспромгосп вирішив вирубати сосновий ліс, але екологи запротестували. Тоді директор ліспромгоспу всіх заспокоїв, сказавши: «У нашому лісі 99% сосен. Ми будемо рубати тільки сосни. Після їх вирубки залишиться 98% від усіх дерев ». Яка частина лісу буде вирубана?

Коза і корова з'їдають віз сіна за 45 днів, корова і вівця - за 60 днів, вівця і коза - за 90 днів. За скільки днів з'їдять віз сіна коза, вівця і корова разом?

Чи ділиться число 44444. 44 на 8?

Доведіть, що число 2 ділиться на 9.

Два потяги рухаються назустріч один одному по паралельних шляхах - один зі швидкістю 60 км \ год, а інший зі швидкістю 80 км \ год. Пасажир, що сидить у другому поїзді, зауважив, що перший потяг йшов повз нього протягом 6 с. Яка довжина першого поїзда?

Магазин продав третю частину отриманих апельсин і ще 32 кг, третю частину залишку і ще 32 кг відпустив шкільній їдальні, третю частину нового залишку і ще 32 кг передали дитячому саду, після чого залишилася третина нового залишку і ще 32 кг. Скільки кг апельсин було в магазині спочатку?

Є 9 пластинок і двохчашкові ваги без гир. А їхній вигляд подоба пластинки однакові, але одна з них легше інших. Як за допомогою двох зважувань знайти більш легку платівку?

У приймальні 10 крісел. Скількома способами в них можуть розміститися 4 відвідувачів?

У зірки ACFBD рівні кути при вершинах А і В, кути при вершинах F і С, а також довжини відрізків АС і ВF. Доведіть, що AD = BD.

Малюк і Карлсон черзі беруть цукерки з одного пакета. Малюк бере одну цукерку, Карлсон - дві, потім малюк бере 3 цукерки, Карлсон - 4, і так далі. Коли кількість залишилися в пакеті цукерок стане менше необхідного, той, чия черга настала, забере всі залишилися цукерки. Скільки цукерок було в пакеті спочатку, якщо у Малюка в результаті виявилося 101 цукерка?

Два джентльмена одночасно вирушили на прогулянку по алеї довжиною 100 метрів. Містер Сміт за годину проходить 1 км, містер Джонс йде повільніше - всього 600 метрів на годину. Дійшовши до кінця алеї, кожен повертає і з колишньою швидкістю йде назад. Зустрічаючись, вони кожен раз розкланюються. Скільки разів вони розкланюються протягом перших 25 хвилин? Скільки часу з цих 25 хвилин вони йшли в одному напрямку?

У пляшці, склянці, глечику і банку знаходиться молоко, лимонад, квас, вода. Відомо, що вода і молоко знаходяться не в пляшці, посудину з лимонадом стоїть між глечиком і посудиною з квасом, в банку не лимонад і не вода. Стакан коштує близько банки і судини з молоком. Куди налита кожна рідина?

Скільки білих грибів треба зібрати для отримання 1 кг сушених, якщо при переробці свіжих грибів залишається 50% їх маси, а при сушінні залишається 10% маси оброблених грибів?

Кути 60 ° і 40 ° мають спільну сторону. Знайдіть відношення міри кута, утвореного не загальною стороною кута 40 ° і бісектрисою більшого кута, до міри більшого кута.

Скільки риб у ставку? Якийсь іхтіолог хотів визначити, скільки в ставку риб, придатних для улову. Для цього він закинув мережу з заздалегідь обраним розміром осередків і, витягнувши її, виявив 30 риб, зазначив кожну з них міткою і кинув у ставок. На другий день закинув ту ж саму мережу і зловив 40 риб, на 2 з яких були його мітки. Як за цими даними він приблизно обчислив скільки риб у ставку?

Знайти всі такі цілі числа х і у, такі що (1 + у) (ху - 1) = 3.

Число х при розподілі на 10 дає в залишку 3, а число у при розподілі на 10 дає в залишку 2. Довести, що сума (х + у) ділиться без остачі на 5.

Середнє арифметичне шести чисел одно 345, а середнє арифметичне чотирьох інших чисел одно 555. Чому дорівнює середнє арифметичне всіх десяти чисел?

У кімнаті стоять табуретки та стільці, у кожної табуретки 3 ніжки, у кожного стільця 4 ніжки. Коли на всіх табуретках і стільцях сидять люди, в кімнаті 39 ніг. Скільки стільців і табуреток в кімнаті?

Теплохід проходить шлях від А до В за течією за 3 години, а повертається назад за 4 години. За якийсь час шлях від А до В долає пліт?

Розв'яжіть рівняння: || х - 674 | -1 | = 4.

У класі вчаться 40 чоловік. З них з української мови мають «3» 19 осіб, з математики - 17 осіб і з фізики - 22 людини. Тільки по одному предмету мають «3»: з української мови - 4 людини, з математики - 4 людини і з фізики 11 чоловік. Семеро людей мають «3» і з математики, і з фізики, з них п'ятеро мають «3» і з української мови. Скільки людей вчаться без трійок?

У шестизначний числі перша цифра збігається з четвертої, друга - з п'ятої, третя - з шостої. Доведіть, що це число кратно 7, 11, 13.

Доведіть, що якщо трикутники АВМ та АВМ рівні, то трикутники CDMі CDM теж рівні.