Оцінка для дисперсії випадкової величини

В якості оцінки для дисперсії розглянемо наступну величину:

Оцінку (5.2.8) прийнято називати вибіркової дисперсією. Перевіримо її на спроможність і Незміщеність. Перетворимо вираз (5.2.8) до іншого виду:

Перший член у виразі представляє собою середнє арифметичне n спостережуваних значень випадкової величини X 2. значить він сходиться по ймовірності до MX 2. Другий член сходиться по ймовірності до. Отже, права частина сходиться по ймовірності до величини. що означає, що оцінка заможна.

Тепер перевіримо, чи є вибіркова дисперсія несмещенной оцінкою:

Так як дисперсія не залежить від того, в якій точці вибрати початок координат, виберемо його в точці; потім знайдемо математичне сподівання величини. Маємо.

В силу незалежності випадкових величин. . і, отже,

Очевидно, що вибіркова дисперсія є зміщеною оцінкою. Однак, якщо помножити величину на. то ми отримаємо для дисперсії оцінку, що володіє властивістю незсуненості. бо

Цю оцінку прийнято називати «виправленої» вибіркової дисперсією і визначати формулою

Величину називають «виправленим» середнім квадратичним відхиленням. Так як множник прагне до 1 при. то оцінка буде також, як і. заможної.

Якщо маємо інтервальний вибіркове розподіл, неважко переконатися, що формули для вибіркової середньої вибіркової дисперсії і «виправленої» вибіркової дисперсії можна переписати у вигляді

тут - середнє значення випадкової величини X на інтервалі. тобто = (Xi-1 + xi) / 2.

Завдання. Є статистичний ряд для випадкової величини X.

Значення і отримані з таблиці Маємо.

Інтервальні оцінки. Довірчий інтервал.
Знаходження довірчих інтервалів для математичного очікування і дисперсії нормального розподілу випадкової величини

У ряді завдань потрібно не тільки знайти за допомогою статистичних даних точкову оцінку для параметра розподілу, а й оцінити її точність і надійність, так як в силу випадковості наближена заміна на може привести до серйозних помилок. Для точності оцінки в математичній статистиці використовують довірчі інтервали.

Нехай для параметра розподілу випадкової величини Х отримана несмещенная оцінка. Задаємо досить високу ймовірність (наприклад,) і знаходимо таке значення e> 0, для якого

Рівність можна переписати в іншому вигляді

Остання рівність можна витлумачити таким чином: невідоме значення параметра а з ймовірністю потрапляє в інтервал.

Але так як невідоме значення параметра є невипадковою величиною, оцінка цього параметра - випадкової, то рівність можна витлумачити більш точно в такий спосіб: інтервал з високою ймовірністю покриває невідомий параметр.

Інтервал називається довірчим інтервалом; центр його знаходиться в точці. радіус його e. Імовірність називається довірчою ймовірністю або надійністю.

Отже, довірчий інтервал - це інтервал з центром в точці і радіусом e, який з високою ймовірністю (надійністю) покриває невідомий параметр. Знайти довірчий інтервал - це значить за статистичними даними знайти центр інтервалу і радіус його e> 0.