Обсяги подібних тіл

Нехай Т і Т '- два простих подібних тіла. Це означає, що існує перетворення подібності, при якому тіло Т переходить в тіло Т '. Позначимо через k коефіцієнт подібності.

Розіб'ємо тіло Т на трикутні піраміди Р1. Р2. Рn -Перетворення подібності, яке переводить тіло Т в тіло Т ', переводить піраміди Р1. Р2. Рn в піраміди Р'1. Р'2. Р'n. Ці піраміди складають тіло Т ', і тому обсяг тіла Т' дорівнює сумі обсягів пірамід Р'1. Р'2. Р'n.

Так як піраміди Р1 'і Р, подібні і коефіцієнт подібності дорівнює k, то ставлення їх висот одно k, а відношення площ їх підстав одно k 3.

Отже, відношення обсягів пірамід одно k 3. Так як тіло Т складено з пірамід Рi а тіло Т 'складено з пірамід Р'i то відношення обсягів тел Т' і Т теж одно k 3.

Число k - коефіцієнт подібності - дорівнює відношенню відстаней між будь-якими двома відповідними парами точок при перетворенні подібності.

Отже, це число дорівнює відношенню будь-яких двох відповідних лінійних розмірів тіл Т 'і Т. Таким чином, ми приходимо до наступного висновку:

Обсяги двох подібних тіл відносяться як куби їх відповідних лінійних розмірів.

Завдання (48). Через середину висоти піраміди проведена площину. паралельна підставі. В якому відношенні вона ділить об'єм піраміди?

Рішення. Як ми знаємо, проведена площину відсікає подібну піраміду (рис. 484). Коефіцієнт подібності дорівнює відношенню висот, т. Е.
Тому обсяги пірамід відносяться як. Отже, площина ділить нашу піраміду на частини, обсяги яких відносяться як

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Якщо у вас є виправлення або пропозиції до даного уроку, напишіть нам.

Якщо ви хочете побачити інші коригування та побажання до уроків, дивіться тут - Освітній форум.