Обсяг прямої і похилої призми

Призмою називається багатогранник, дві грані якого є рівними багатокутниками, що лежать в паралельних площинах, а інші грані - паралелограма, які мають спільні сторони з цими багатокутниками. Ці паралелограми називаються бічними гранями призми, а інші два багатокутника називаються її підставами.

Призма є окремим випадком циліндра. Паралелепіпед є окремим випадком призми.

Призма має наступну властивість:

Будь-яке перетин призми площиною, паралельною її підставі, ділить цю призму на дві призми так, що відношення бічних поверхонь і відношення об'ємів цих призм дорівнює відношенню довжин їх бічних ребер. Будь-яке перетин призми площиною, паралельною її бічного ребра, ділить цю призму на дві призми так, що відношення об'ємів цих призм дорівнює відношенню довжин їх бічних ребер. Будь-яке перетин призми площиною, паралельною її бічного ребра, ділить цю призму на дві призми так, що відношення об'ємів цих призм дорівнює відношенню площ їх підстави.

види призм

Пряма призма. Бічні ребра прямої призми перпендикулярні площині підстави.

Похила призма. Бічні ребра похилої призми знаходяться відносно площини основи під кутом, відмінним від $ 90 ^ \ circ $.

Правильна призма. Підставою прямої призми є правильний багатокутник. Її бічні гран - рівні прямокутники.

Напівправильні многогранником називається правильна призма, бічні грані якої - квадрати.

Обсяг прямої призми

Для виведення формули обчислення обсягу правильної призми візьмемо призму, в основі якої лежить трикутник. Добудуємо її до прямокутного паралелепіпеда (рисунок 1).

Малюнок 1. Тетраедр, добудований до паралелепіпеда

З попередньої глави ми знаємо, що обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює:

Оскільки отриманий паралелепіпед складається з вихідної призми і призми, рівної їй за обсягом, то обсяг вихідної призми дорівнюватиме

де $ a $, $ b $, $ c $ довжини сторін $ AB $, $ BC $, $ AC $ відповідно, і їх добуток дорівнює площі підстави вихідної призми, то запишемо в загальному вигляді формулу знаходження об'єму прямої призми:

де $ S_ $ - площа підстави призми, $ H $ - висота, проведена до основи призми.

Дана формула вірна для прямої призми з будь-яким многоугольником в підставі.

Обсяг похилій призми

Для виведення формули знаходження обсягу похилій призми розглянемо трикутну похилу призму $ ABCDFE $. Проведемо через ребро $ DC $ площину $ \ alpha $, перпендикулярну основи $ ABCD $ вихідної призми, і побудуємо трикутну усічену призму (малюнок 2).

Малюнок 2. Похила призма, площину $ \ alpha $

Тепер через ребро $ AB $ проведемо площину $ \ beta $, паралельну площині $ \ alpha $ (рисунок 3).

Малюнок 3. Похила призма, площині $ \ alpha $ і $ \ beta $

Якщо застосувати таке перетворення до похилих граней ще раз, то вийде призма, у якої все бічні межі перпендикулярні основі. Знову вийшов пряма призма.

Якщо її піддати подібному перетворенню (спочатку доповнити першої усіченої призмою, потім відсікти другу усічену призму), то добудована і відсікати призми поєднуються паралельним перенесенням на відрізок $ AB $. З цього випливає, що фігури мають однаковий обсяг.

Отже, обсяг побудованої прямої призми дорівнює обсягу вихідної похилій.