Обмежені і необмежені функції

Визначення 1. Функція. задана на безлічі Х. називається обмеженою зверху на цій множині, якщо існує число М. таке, що. Функція. задана на безлічі Х. називається обмеженою знизу на цій множині, якщо існує число М. таке, що. Функція. задана на безлічі Х. називається обмеженою на цій множині, якщо існують числа і. такі, що.

Іншими словами, функція обмежена на безлічі Х. якщо на цій множині вона обмежена і зверху, і знизу.

Наприклад, функція обмежена зверху на безлічі R. так як. функція обмежена знизу на R. так як. функція обмежена на R. так як. Обмеженими є також функції і. так як .

Властивості обмежених функцій:

1) якщо функції f і g обмежені на безлічі Х. то і функції і теж обмежені на безлічі Х;

2) якщо функція обмежена зверху, то функція обмежена знизу;

3) якщо функція позитивна на безлічі Х і обмежена на ньому знизу позитивним числом, то функція обмежена на Х.

Доведення. 1) В силу обмеженості функцій f і g на безлічі Х знайдуться числа і. і. такі, що і. А тоді і - обмежені на Х функції. Щоб довести обмеженість функції. покладемо. Тоді мають місце нерівності і. з яких випливає, що. а це і означає обмеженість функції.

2) В силу обмеженості функції f зверху знайдеться число М. таке, що. Тоді. що і означає обмеженість функції знизу.

3) За умовою. тому обмеженість функції.

Наприклад, функція обмежена на множині R дійсних чисел, так як.

Щоб дати визначення необмеженої зверху чи знизу функції, потрібно сформулювати заперечення відповідної частини визначення 1.

Визначення 2. Функція називається необмеженою зверху на безлічі Х. якщо не існує числа М. такого, що для будь-кого. тобто для будь-якого числа М знайдеться число. таке, що.

Функція називається необмеженою знизу на безлічі Х. якщо для будь-якого числа М знайдеться число. таке, що.

Доведемо, наприклад, що функція необмежена на безлічі зверху. Візьмемо довільне число і покажемо, що. таке, що.

Для цього, очевидно, достатньо взяти. наприклад,.

Якщо функція обмежена на безлічі Х. то безліч обмежена, тому має точну верхню і точну нижню межі. Їх позначають і відповідно і називають точної верхньою межею і точної нижньою межею функції на безлічі Х.

Визначення 3. а) Функція називається зростаючою на множині Х. якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, тобто . таких, що. маємо.

б) Функція називається спадною на множині Х. якщо.

в) Функція називається неубивающей на безлічі Х. якщо.

г) Функція називається незростаюча на безлічі Х. якщо.

Зростаючі, спадні, неубутних, незростаюча функції називаються монотонними. зростаючі і спадні - строго монотонними функціями.

При дослідженні функцій на монотонність корисні наступні твердження.

Теорема. а) Якщо функції f і g зростають (зменшуються) на безлічі Х. то і функція f + g зростає (спадає) на Х.

б) Якщо на безлічі Х. то на Х.

в) Якщо функції f і g невід'ємні на безлічі Х і зростають (зменшуються) на цій множині, то їх твір на Х.

г) Якщо функція f позитивна на безлічі Х і зростає (спадає), то на Х.

д) Якщо функція на безлічі Х. а функція на множині. то функція на множині Х.

Доведення. Доведемо, наприклад, а) і д).

а) Нехай функції f і g зростають на безлічі Х і. причому. Тоді і оскільки нерівності однакового змісту можна складати, то. тобто функція f + g зростає.

д) Нехай функція спадає на безлічі Х. а функція спадає на множині. . причому. Тоді і, так як. тобто функція зростає на множині Х.

Решта затвердження теореми довести самостійно.

Відзначимо, що додаток постійної величини до функції і множення функції на позитивну постійну величину не змінює характеру монотонності.

Приклад. Доведемо, що функції і зростають на проміжку.

Доведення. Функція зростає на проміжку. Тоді за властивістю в) і на. і. тому по властивості а) зростає і функція.

Для функції доказ проведемо методом від противного. Нехай. Припустимо гидке, тобто що. Тоді, в силу зростання функції. . тобто . що суперечить нерівності. З отриманого протиріччя випливає, що. тобто функція зростає на проміжку.