Обчислення площі трикутника в просторі за допомогою векторів
Точка лежить на площині. тому її координати задовольняють рівняння площині:. Звідси знаходимо, що. Підставивши отриманий результат в формулу (11.9), отримаємо. Так як . то з формули (11.8) випливає формула (11.7).
Нехай площині і задані відповідно рівняннями і. Потрібно знайти кут між цими площинами.
Площині, перетинаючись, утворюють чотири двогранні кута (рис. 11.6): два тупих і два гострих або чотири прямих, причому обидва тупих кути рівні між собою, і обидва гострих теж рівні між собою. Ми завжди будемо шукати гострий кут. Для визначення його величини візьмемо точку на лінії перетину площин і в цій точці в кожній з площин проведемо перпендикуляри і до лінії перетину. Намалюємо також нормальні вектори і площин і з началами в точці (рис. 11.6).
Ріс.11.6.Угол між площинами
Якщо через точку провести площину. перпендикулярну лінії перетину площин і. то прямі і та зображення векторів і будуть лежати в цій площині. Зробимо креслення в площині (можливі два варіанти: рис. 11.7 і 11.8).
В одному варіанті (рис. 11.7) і. отже, кут між нормальними векторами дорівнює куту. що є лінійним кутом гострого двогранного кута між площинами і.
У другому варіанті (рис. 11.8). а кут між нормальними векторами дорівнює. Так як
то в обох випадках.
За визначенням скалярного твори. Звідки
Так як координати нормальних векторів відомі, якщо задані рівняння площин, то отримана формула (11.4) дозволяє знайти косинус гострого кута між площинами.
Якщо площини перпендикулярні, то перпендикулярні і їх нормальні вектори. Отримуємо умову перпендикулярності площин:
Якщо площини паралельні, то колінеарні їх нормальні вектори. Отримуємо умову паралельності площин