Обчислення інтеграла мору за правилом Верещагіна

Обчислення інтеграла Мора по правилу Верещагіна.

У загальному випадку (стрижень змінного перерізу, складна система навантажень) інтеграл Мора визначається шляхом чисельного інтегрування. У багатьох практично важливих випадках, коли жорсткість перетину постійна по довжині стрижня, інтеграл Мора може бути обчислений за правилом Верещагіна. Розглянемо визначення інтеграла Мора на ділянці від а до 6 (рис. 9.18).

Мал. 9.18. Правило Верещагіна для обчислення інтеграла Мора

Епюри моменту від одиничного силового фактора складаються з відрізків прямих. Не порушуючи спільності, припустимо, що в межах ділянки

де А і В - параметри прямої:

Інтеграл Мора на даній ділянці постійного перетину має вигляд

де F - площа під кривою (площа епюри згинальних моментів від зовнішніх сил на ділянці z).

Далі слід врахувати, що статичний момент площі епюри моментів дорівнює

де - абсциса центру ваги площі.

Рівність (109) справедливо, коли в межах ділянки не змінює знак і може розглядатися як елемент площі епюри. Тепер з співвідношень (107) - (109) отримуємо

- момент від одиничної навантаження в перерізі

Допоміжна таблиця для використання правила Верещагіна дана на рис. 9.19.

Зауваження. 1. Якщо епюра від дії зовнішніх сил на ділянці лінійна (наприклад, при дії зосереджених сил і моментів), то правило можна застосовувати в зверненому вигляді: площа епюри від одиничного силового фактора помножити на ординату епюри відповідну центру тяжіння площі. Це випливає з наведеного докази.

2. Правило Верещагіна може бути поширене на інтеграл Мора в загальному вигляді (рівняння (103)).

Мал. 9.19. Площі і положення центрів ваги епюр моментів

Мал. 9.20. Приклади визначення прогину і кутів повороту за правилом Верещагіна

Основна вимога при цьому полягає в наступному: в межах ділянки внутрішні силові фактори від одиничної навантаження повинні бути лінійними функціями уздовж осі стрижня (лінійність епюр!).

Приклади. 1. Визначити прогин в точці А консольного стрижня при дії зосередженого моменту М (рис. 9.20, а).

Прогин в точці А визначаємо за формулою (для стислості індекс опускається)

Знак мінус пов'язаний з тим, що мають різні знаки.

2. Визначити прогин в точці А в командному стрижні під дією розподіленого навантаження.

Прогин визначаємо за формулою

Епюри згинального моменту М і перерізують сили Q від зовнішнього навантаження показані на рис. 9.20, б, нижче на цьому малюнку приведені епюри при дії одиничної сили. далі знаходимо

3. Визначити прогин в точці А і кут повороту в точці В для двухопорной балки, завантаженої зосередженим моментом (рис. 9.20.).

Прогин визначаємо за формулою (деформацією зсуву нехтуємо)

Так як епюра моменту від одиничної сили не зображується однією лінією; то інтеграл розбиваємо на дві ділянки:

Кут повороту в точці В дорівнює

Зауваження. З наведених прикладів видно, що спосіб Верещагіна в простих випадках дозволяє швидко визначити прогини і кути повороту. Важливо тільки застосовувати єдине правило знаків для Якщо домовитися при вигині стрижня будувати епюри згинальних моментів на «розтягнутому волокні» (див. Рис. 9.20), то відразу легко бачити позитивні і негативні значення моментів.

Особлива перевага правила Верещагіна полягає в тому, що воно може бути іспол'вовано не тільки для стрижнів, але і для рам (розд. 17).

Обмеження для застосування правила Верещагіна.

Ці обмеження випливають з виведення формули (110), але звернемо на них увагу ще раз.

1. Епюра згинальних моментів від одиничної навантаження повинна бути у вигляді однієї прямої лінії. На рис. 9.21, а показаний випадок, коли ця умова не дотримується. Інтеграл Мора необхідно обчислювати окремо для ділянок I і II.

2. Згинальний момент від зовнішнього навантаження в межах ділянки повинен мати один знак. На рис. 9.21, б показаний випадок, коли правило Верещагіна слід застосовувати для кожної ділянки окремо. Це обмеження не стосується моменту від одиничної навантаження.

Мал. 9.21. Обмеження при використанні правила Верещагіна: а - епюра шсеет злам; б - епюра має різні знаки; в - стрижень має різні перетину

3. Жорсткість стрижня в межах ділянки повинна бути постійна, інакше інтегрування слід поширювати окремо на ділянки з постійною жорсткістю. Обмеження по постійної жорсткості можна уникнути, якщо будувати епюри.