Обчислення абсолютної і відносної похибки

При прямих вимірах

1. Нехай на вольтметрі одноразово виміряні два напруги U1 = 10 В, U2 = 200 В. Вольтметр має наступні характеристики: клас точності dкл т = 0,2, Umax = 300 В.

Визначимо абсолютну і відносну похибки цих вимірювань.

Так як обидва вимірювання зроблені на одному приладі, то DU1 = DU2 і обчислюються за формулою (В.4)

Згідно з визначенням відносні похибки U1 і U2 відповідно рівні

# 949; 1 = 0,6 # 8729; В / 10 В = 0,06 = 6%,

# 949; 2 = 0,6 # 8729; В / 200 В = 0,003 = 0,3%.

З наведених результатів обчислень # 949; 1 і # 949; 2 видно, що # 949; 1 значно більше # 949; 2.

Звідси випливає правило: слід вибирати прилад з такою межею вимірювань, щоб свідчення були в останній третині шкали.

2. Нехай деяка величина виміряна багаторазово, тобто вироблено n окремих вимірювань цієї величини АХ1, ах2. Ах3.

Тоді для обчислення абсолютної похибки проводять такі операції:

1) за формулою (В.5) визначають середнє арифметичне значення А0 вимірюваної величини;

2) обчислюють суму квадратів відхилень окремих вимірювань від знайденого середнього арифметичного і по формулі (В.6) визначають середню квадратичну похибку, яка і характеризує абсолютну похибка одиничного вимірювання при багаторазових прямих вимірах деякої величини;

3) відносна похибка # 949; обчислюється за формулою (В.2).

Обчислення абсолютної і відносної похибки

При непрямому вимірі

Обчислення похибок при непрямих вимірах - більш складне завдання, так як в цьому випадку шукана величина є функцією інших допоміжних величин, вимірювання яких супроводжується появою похибок. Зазвичай при вимірах, якщо не брати до уваги промахів, випадкові похибки виявляються досить малими в порівнянні з вимірюваноївеличиною. Вони настільки малі, що другі і більш високі ступені похибок лежать за межами точностей вимірювань і ними можна знехтувати. Через малість похибок для отримання формули похибки
побічно вимірюваної величини застосовують методи диференціального числення. При непрямому вимірі величини, коли безпосередньо вимірюються величини, пов'язані з шуканої деякої мaтематіческой залежністю, зручніше спочатку визначити відносну похибку і вже
через знайдену відносну похибку обчислювати абсолютну похибка вимірювання.

Диференціальне числення дає найбільш простий спосіб визначення відносної похибки при непрямому вимірі.

Нехай шукана величина А пов'язана функціональною залежністю з декількома незалежними безпосередньо вимірюваними величинами x1.
x2. xk. т. е.

Для визначення відносної похибки величини А береться натуральний логарифм від обох частин рівності

В отриманому виразі виробляються всі можливі алгебраїчні перетворення і спрощення. Після цього всі символи диференціалів d замінюються на символи похибки D, причому негативні знаки перед диференціалами незалежних змінних замінюються позитивними, т. Е. Береться найбільш несприятливий випадок, коли всі погрішності складаються. В цьому випадку обчислюється максимальна похибка результату.

З урахуванням вищесказаного

Цей вираз є формулою відносної похибки величини А при непрямих вимірах, воно визначає відносну похибка шуканої величини, через відносні похибки, вимірюваних величин. Обчисливши за формулою (в.11) відносну похибку,
визначають абсолютну похибку величини А як твір відносної похибки на розраховане значення А т. е.

де # 949; виражено безрозмірним числом.

Отже, відносну і абсолютну похибки побічно вимірюваної величини слід розрахувати в такій послідовності:

1) береться формула, за якою розраховується шукана величина (розрахункова формула);

2) береться натуральний логарифм від обох частин розрахункової формули;

3) обчислюється повний диференціал натурального логарифма шуканої величини;

4) в отриманому виразі виробляються всі можливі алгебраїчні перетворення і спрощення;

5) символ диференціалів d замінюється на символ похибки D, при цьому всі негативні знаки перед диференціалами незалежних змінних замінюються на позитивні (величина відносної похибки буде максимальною) і виходить формула відносної похибки;

6) розраховується відносна похибка вимірюваної величини;

7) по розрахованої відносної похибки обчислюється абсолютна похибка непрямого вимірювання за формулою (В.12).

Розглянемо кілька прикладів розрахунку відносної і абсолютної похибок при непрямому вимірі.

1. Шукана величина А пов'язана з безпосередньо вимірюваними величинами х. у. z співвідношенням

де a і b - постійні величини.

2. Візьмемо натуральний логарифм від виразу (В.13)

3. Обчислимо повний диференціал натурального логарифма шуканої величини А. тобто диференціюючи (В.13)

4. Виробляємо перетворення. З огляду на, що dа = 0, так як а = const, cos у / sin y = ctg y. отримуємо:

5. Замінимо символи диференціалів символами похибок і знак «мінус» перед диференціалом на знак «плюс»

6. Розраховуємо відносну похибку вимірюваної величини.

7. За розрахованої відносної похибки обчислюється абсолютна похибка непрямого вимірювання за формулою (В.12), т. Е.

Визначається довжина хвилі жовтого кольору спектральної лінії ртуті за допомогою дифракційної решітки (використовуючи прийняту послідовність обчислення відносної і абсолютної похибок для довжини хвилі жовтого кольору).

1. Довжина хвилі жовтого кольору в цьому випадку визначається за формулою:

де С - постійна дифракційної решітки (побічно вимірювана величина); # 966; ж - кут дифракції жовтої лінії в даному порядку спектру (безпосередньо вимірювана величина); Kж - порядок спектра, в якій відбувалося спостереження.

Постійна дифракційної решітки обчислюється за формулою

де Kз - порядок спектра зеленої лінії; # 955; ж - відома довжина хвилі зеленого кольору (# 955; ж - постійна); # 966; ж - кут дифракції зеленої лінії в даному порядку спектру (безпосередньо вимірювана величина).

Тоді з урахуванням виразу (В.15)

де Kз. Kж - спостережувані, які вважаються постійними; # 966; ж. # 966; ж - являют-
ся безпосередньо вимірюваними величинами.

Вираз (В.16) - розрахункова формула довжини хвилі жовтого кольору, яка визначається за допомогою дифракційної решітки.

де D # 966; ж. D # 966; ж - абсолютні похибки вимірювання кута дифракції жовтої
і зеленої ліній спектра.

6. Розраховуємо відносну похибка довжини хвилі жовтого кольору.

7. Обчислюємо абсолютну похибка довжини хвилі жовтого кольору: