Нуль кільця, дільник нуля, область цілісності

Доведемо тепер, що нуль кільця має звичайним властивістю при множенні:

Теорема 1. Якщо один з співмножників дорівнює нулю, то і все добуток дорівнює нулю, т. Е.

Доведемо лише перше з рівності, так як друге випливає з першого за допомогою IV. За визначенням нуля і різниці 0 = b - b для будь-якого b. Звідси a * 0 = a (b - b) = ab - ab = 0.

Однак теорема, зворотна теоремі 1, вірна для чисел, вже не зберігається для будь-яких кілець, іншими словами, якщо твір двох елементів кільця дорівнює нулю, то можна стверджувати, що хоча б один з них дорівнює нулю. Так, у наведеному вище прикладі 10 кільця, складеного з пар (a. B) цілих чисел, нулем є, очевидно, пара (0, 0). Якщо взяти цілі числа і, то пари (a. 0) і (0, b) відмінні від нуля кільця, але (a. 0) (0, b) = (0, 0).

Визначення 2. Елементи a і b кільця, для яких,, але ab = 0, називаються дільниками нуля. Кільце без дільників нуля називається також областю цілісності.

Теорема 2. З ab = ac слід b = c. якщо тільки і не є дільником нуля.

Доведення. З ab = ac слід ab - ac = 0 або a (b - c) = 0. Але так як і не дільник нуля, то b - c = 0, b = c.

Надалі нам доведеться мати справу виключно з кільцями без дільників нуля. Для них з ab = ac і слід b = c.

При множенні справедливі звичайні правила знаків, а саме: