Найпростіші правила інтегрування
I. Винесення постійного множника за знак інтеграла.
Теорема 3.Постоянний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла, тобто
Доведення. Візьмемо похідну від правої частини рівності (4.1) і винесемо постійний множник за знак похідної:
.
Скористаємося формулою (2.2). Так як, отримаємо, що
,
тобто права частина (4.1) є сукупністю первісних для функції
Наведемо приклади застосування теореми 3.
.
II.Представленіе інтеграла у вигляді суми декількох доданків.
Теорема 4.Неопределенний інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій, тобто
Доведення. Так само, як при доведенні теореми 3, продифференцируем праву частину рівності (4.2). З огляду на, що похідна алгебраїчної суми дорівнює алгебраїчній сумі похідних, отримаємо
.
Так як і, отримаємо, що
.
Таким чином, теорема 4 доведена.
Зауваження. Формула (4.2) може бути поширена на будь-яку кількість функцій. При обчисленні інтегралів у правій частині (4.2) виникає кілька довільних постійних. З самого сенсу невизначеного інтеграла як сукупності первісних випливає, що не потрібно виписувати всі постійні, а досить ввести одну довільну постійну в остаточний вираз.
Наведемо приклади спільного застосування теорем 3 і 4.
.
.
Наступні приклади показують, що часто підінтегральної функції доводиться спочатку перетворити, підготувавши її до застосування теорем 3 і 4.
.
.
.
Теорема 5.Пусть відомо, що
гдеaіb- числа,
Доведення. Як завжди, продифференцируем праву частину формули (4.3) і покажемо, що її похідна дорівнює підінтегральної функції, що стоїть в лівій частині. Відзначимо, що функція
Тоді справедлива ланцюжок рівностей
Теорема 5 доведена.
Зауважимо, що формулу (4.3) можна отримати, ввівши під знаком інтеграла нову змінну
.
висловлюючи
Отже, встановимо ланцюжок рівностей:
Саме ланцюжком (4.4) і зручно користуватися, обчислюючи конкретні інтеграли. При цьому введення нової змінної можна опускати, переходячи відразу до останнього рівності.
Приклад 4.10. Введемо нову змінну. тоді
Приклад 4.11 .. Введемо нову змінну. Тоді.
,
У прикладах (4.14) і (4.15) підінтегральна функції попередньо представимо в такому вигляді, щоб можна було застосувати до них таблицю інтегралів.
.
Введемо нову змінну. тоді
Введемо нову змінну
.
Звернемося тепер до таблиці 1 і виведемо передостанні три інтеграла, т. Е. Формули (3.13), (3.14) і (3.15) за допомогою теореми 5.
Обчислимо інтеграл (3.13) на основі інтеграла (3.11) таблиці.
Інтеграл (3.14) обчислимо на основі інтеграла (3.12) таблиці.
Для обчислення інтеграла (3.15) використовуємо табличний інтеграл (3.3).
