Найімовірніше число успіхів

Біноміальний розподіл (розподіл за схемою Бернуллі) дозволяє, зокрема, встановити, яка кількість появ події А найбільш ймовірно. Формула для найбільш ймовірного числа успіхів (появ події) має вигляд:

Так як . то ці межі відрізняються на 1. Тому. є цілим числом, може приймати або одне значення, коли ціле число (). тобто коли (а звідси і) нецілим число, або два значення, коли ціле число.

Приклад. При автоматичної наводкою знаряддя ймовірність попадання по швидко рухомій цілі дорівнює 0,9. Знайти найімовірніше число влучень при 50 пострілах.

Рішення. Тут. Тому маємо нерівності:

Приклад. Дані тривалої перевірки якості що випускаються стандартних деталей показали, що в середньому шлюб становить 7,5%. Визначити найбільш ймовірне число цілком справних деталей в партії з 39 штук.

Рішення. Позначаючи ймовірність випуску справної деталі через. матимемо і (отримання бракованої деталі і отримання справної деталі - події протилежні). Так як тут n = 39, то шукане число можна знайти з нерівностей:

Звідси найімовірніше число справних деталей одно 36 або 37.

Нерівності для найімовірнішого числа успіхів дозволяють вирішити і зворотну задачу: по даним і відомим значенням р визначити загальне число n всіх випробувань.

Приклад. При якому числі пострілів найімовірніше число влучень дорівнює 16, якщо ймовірність попадання в окремому пострілі становить 0,7?

Таким чином, число всіх пострілів тут може бути 22 або 23.

При великому числі випробувань n і малу ймовірність р формулою Бернуллі користуватися незручно, наприклад, обчислити важко. В цьому випадку для обчислення ймовірності того, що в n випробуваннях (n - велике) подія відбудеться k раз, використовують формулу Пуассона:

- середнє число появ події в n випробуваннях.

Ця формула дає задовільний наближення для і. При великих рекомендується застосовувати формули Лапласа (Муавра-Лапласа). Події, для яких може бути застосована формула Пуассона, називають рідкісними. тому що ймовірність їх здійснення дуже мала (зазвичай близько 0,001-0,0001).

Приклад. Пристрій складається з 1000 елементів, що працюють незалежно один від іншого. Імовірність відмови будь-якого елементу в плині часу Т дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що за час Т відмовлять рівно три елементи.

Рішення. За умовою дано:.

Приклад. Завод відправив на базу 500 виробів. Імовірність ушкодження вироби в дорозі 0,004. Знайти ймовірність того, що в дорозі пошкоджено менше трьох виробів.

Рішення. За умовою дано:.

По теоремі додавання ймовірностей

Приклад. Магазин отримав 1000 пляшок мінеральної води. Імовірність того, що під час перевезення пляшка виявиться розбитою, дорівнює 0,003. Знайти ймовірність того, що магазин отримає більше двох розбитих пляшок.

Рішення. За умовою дано:.

Нехай в кожному з незалежних випробувань подія A може статися з ймовірністю. (Умови схеми Бернуллі). Позначимо як і раніше, через ймовірність рівно появ події А в випробуваннях. крім того, нехай - ймовірність того, що число появ події А знаходиться між і.

Локальна теорема Лапласа.

Якщо n - велике, а р - відмінно від 0 і 1, то

де - функція Гаусса (функція табульованого, таблицю можна завантажити на сторінці формул з теорії ймовірностей).