монотонні послідовності

5.7. монотонні послідовності

Визначення 9. Числова послідовність xn> називається зростаючою (спадною), якщо для всіх nN виконується нерівність xnxn + 1).
Зростаюча (спадна) послідовність позначається xn (відповідно xn). Якщо зростаюча (спадна) послідовність має межу, що дорівнює a. то пишуть xna
(Відповідно xna).
Послідовність xn> називається строго зростаючою (строго спадною), якщо для всіх nN виконується нерівність xn xn + 1). Строго зростаюча (строго спадна) послідовність позначається xn (відповідно xn).
Убутні і зростаючі послідовності називаються монотонними. а строго убувають і строго зростаючі - строго монотонними.
Приклади.
3. Послідовність n> строго убуває.
4. Послідовність n> строго зростає.
5. Послідовність n> немонотонна.

Теорема 3 (Beйepштpacc). Будь-яка зростаюча числова последовательностьxn> має межу. кінцевий. якщо вона обмежена зверху. і нескінченний. якщо вона необмежена зверху. причому

Аналогічно. есліxn> - спадна послідовність. то існує (кінцевий або нескінченний) межа

і. отже. цю межу кінцевий. якщо последовательностьxn> обмежена знизу. і нескінченний. якщо вона необмежена знизу.

Нехай послідовність xn> зростає. Доведемо рівність (5.49). Решта затвердження теореми для зростаючих послеовательностей випливають з нього очевидним чином.
Нехай = sup xn>, значення може бути як кінцевим, так і нескінченним. Візьмемо довільну околицях U () точки і позначимо через 'її лівий кінець (рис. 52). Очевидно, ' <. Согласно определению верхней грани:
1) для будь-якого номера nN має місце нерівність