Моменти інерції твердого тіла

На льодовому майданчику спортсмен-фігурист, щоб досягти високої кутової швидкості з'єднує ноги, випрямляє тулуб і витягує вгору руки, з метою же гасіння швидкості (в кінці виступу) руки розкидає по сторонам. З наведеного прикладу видно, що на кінематику механічної системи впливають не тільки маси, але і взаємне їх розташування.

Відомо, що при поступальному русі, мірою інерції твердого тіла є маса. Тоді як при обертальному русі інертність тіла визначається розподілом його маси щодо осі обертання, тобто моментом інерції.

Так, наприклад, при інших рівних умовах (рис.3.19) поступального руху, тіло 1 має більшу масу, до зупинки, буде рухатися довше легкого тіла 2. При рівних масах тіла зупиняться одночасно. У разі ж обертання тел однакової маси (рис.3.19), тіло 2, точки якого розташовані далі від осі обертання, ніж у тіла 1, до зупинки буде обертатися довше, ніж тіло 1, маса якого сконцентрована біля осі.

Момент інерції відносно точки (полюса) - скалярна величина, що чисельно дорівнює сумі творів мас всіх матеріальних точок тіла (системи) на квадрат відстані до полюса:

Момент інерції щодо осі - скалярна величина, що чисельно дорівнює сумі творів мас всіх матеріальних точок тіла (системи) на квадрат відстані до осі:

Момент інерції тіла відносно площини - скалярна величина, що чисельно дорівнює сумі творів мас всіх матеріальних точок тіла (системи) на квадрат відстані до площини:

Відцентровий момент інерції тіла відносно будь-якої пари координатних осей - скалярна величина, що дорівнює сумі творів маси кожної точки тіла на твір її координат по цих осях.

Відцентрові моменти інерції, на відміну від осьових, можуть бути негативними і рівними нулю.

Залежності між моментами інерції твердого тіла відносно координатних осей, координатних площин і початку координат мають вигляд:

Момент інерції щодо осі довільного напрямку.

де. . -центробежние моменти інерції.

Момент інерції твердого тіла відносно заданої осі, наприклад осі z, можна представити у вигляді:

де # 961; - радіус інерції тіла щодо осі z.

Радіус інерції визначає то відстань від осі, (рис. 3.21) на якому потрібно зосередити всю масу тіла, щоб вона мала той же момент інерції, як і розглянуте тіло.

Теорема про моменти інерції щодо паралельних осей (теорема Гюйгенса Штейнера)

Моменти інерції даного тіла відносно різних осей матимуть різне значення. Залежність між моментами інерції тіла щодо двох паралельних осей, одна з яких проходить через центр мас тіла, визначається по теоремі Гюйгенса.

Відповідно до неї. момент інерції відносно довільної осі дорівнює моменту інерції щодо осі, що проходить через центр мас паралельно даної осі плюс добуток маси тіла на квадрат відстані між ними.

. де h- відстань від кожної точки до осі z1.

Доведемо цю теорему

Виходячи з визначення моменту інерції щодо осі, запишемо

З формули Гюйгенса видно, що при видаленні осі Z1 від осі Z в3улічіна моменту інерції зростає. Отже, з усіх осей даного напрямку найменший момент інерції буде відносно осі проходить через центр мас.