Момент сили відносно точки і осі, classical mechanics

Момент сили відносно точки О - це вектор, модуль якого дорівнює добутку модуля сили на плече - найкоротша відстань від точки О до лінії дії сили. Напрямок вектора моменту сили перпендикулярно площині, що проходить через точку і лінію дії сили, так, що дивлячись у напрямку вектора моменту, обертання, що здійснюється силою навколо точки О, відбувається за годинниковою стрілкою.

Якщо відомий радіус-вектор $ \ vec r $ точки прикладання сили $ \ vec F $ щодо точки О, то момент цієї сили відносно Про виражається наступним чином:
$$
\ Vec M_O (\ vec F) = \ vec r \ times \ vec F.
$$
Дійсно, модуль цього векторного твори:
$$
| \ Vec M_O | = | \ Vec r \ times \ vec F | = | \ Vec r | | \ Vec F | \ Sin \ alpha.
$$
Відповідно до малюнком $ | \ vec r | \ sin \ alpha = h $, тому:
$$
| \ Vec M_O | = | \ Vec F | h.
$$

Вектор $ \ vec M_O $, як і результат векторного твори, перпендикулярний векторах $ \ vec r $ і $ \ vec F $, які належать площині $ \ Pi $. Напрямок вектора $ \ vec M_O $ таке, що дивлячись у напрямку цього вектора, найкоротший обертання від $ \ vec r $ до $ \ vec F $ відбувається за годинниковою стрілкою. Іншими словами, вектор $ \ vec M_O $ добудовує систему векторів $ (\ vec r, \ vec F) $ до правої трійки.

Знаючи координати точки прикладання сили в системі координат, початок якої збігається з точкою О, і проекцію сили на ці осі координат, момент сили може бути визначений таким чином:
$$
\ Vec M_O = \ vec r \ times \ vec F =
\ begin
\ Vec i \ Vec j \ Vec k \\
x y z \\
F_x F_y F_z
\ End = (y F_z - z F_y) \ vec i + (z F_x-x F_z) \ vec j + (x F_y-y F_x) \ vec k.
$$

Момент сили відносно осі

Проекція моменту сили відносно точки на деяку вісь, що проходить через цю точку називається моментів сили щодо осі.

Момент сили відносно осі обчислюється як момент проекції сили $ \ vec F $ на площину $ \ Pi $, перпендикулярну осі, щодо точки перетину осі з площиною $ \ Pi $:
$$
M_z (\ vec F) = M_z (\ vec F_ \ Pi) = \ pm F_ \ Pi h.
$$
Знак моменту визначається напрямом обертання, яке прагне надати тілу сила $ \ vec F_ \ Pi $. Якщо, дивлячись у напрямку осі $ Oz $ сила обертає тіло за годинниковою стрілкою, то момент береться зі знаком `` плюс '', інакше - `` мінус ''.