Момент сили 1
Нехай деякий тіло під дією сили F, прикладеної в точці А, приходить в обертання навколо осі ОО '(рис. 1.14).
Момент сілиесть вектор, який визначається векторним твором радіуса-вектора точки прикладання сили і вектора сили:
(3.1)
Одиниця моменту сили - ньютон-метр (Н • м).
Напрямок М можна знайти за допомогою правила правого гвинта.
Моментом імпульсачастіци називається векторний добуток радіус-вектора частинки на її імпульс:
або в скалярному вигляді L = гPsin # 945;
Ця величини векторна і збігається за напрямком з векторами # 969 ;.
§ 3.2 Момент інерції. теорема Штейнера
Мірою інертності тіл при поступальному русі є маса. Інертність тіл при обертальному русі залежить не тільки від маси, а й від її розподілу в просторі щодо осі обертання. Мірою інертності при обертальному русі служить величина, називаються ваемая моментом інерції тіла щодо осі обертання.
Моментом інерції матеріальної точки відносно осі обертаючись-ня називають добуток маси цієї точки на квадрат відстані її від осі:
Момент інерції тіла відносно осі обертання називають суму мо-ментів інерції матеріальних точок, з яких складається це тіло:
Момент інерції тіла залежить від того, щодо якої осі воно обертається і як розподілена маса тіла за обсягом.
Найбільш просто визначається момент інерції тіл, що мають правильну геометричну форму і рівномірний розподіл маси за обсягом.
· Момент інерції однорідного стрижня щодо осі, що проходить через центр інерції і перпендикулярної стрижню
· Момент інерції однорідного циліндра щодо осі, перпен-дікулярной його основи і проходить через центр інерції,
· Момент інерції тонкостінного циліндра або обруча щодо осі, перпендикулярної площині його заснування і проходить через його центр,
· Момент інерції кулі відносно діаметра
Наведені формули для моментів інерції тіл дано за умови, що вісь обертання проходить через центр інерції. Щоб визначити моменти інерції тіла відносно довільної осі, слід скористатися теоремою Штейнера: момент інерції тіла відносно довільної осі обертання дорівнює сумі моменту інерції тіла щодо осі, паралельної даній і проходить через центр мас тіла, і твори маси тіла на квадрат відстані між осями:
[M - маса тіла, d - відстань від центру мас до обраної осі вра-щення (відстань між осями)].
Одиниця моменту інерції - кілограм-метр в квадраті (кг • м 2).
Так, момент інерції однорідного стрижня щодо осі, що проходить через його кінець, по теоремі Штейнера дорівнює
§ 3.3 Рівняння динаміки обертального руху твердого тіла
Розглянемо спочатку матеріальну точку А масою m, що рухається по колу радіусом г (рис. 1.16). Нехай на неї діє постійна сила F, спрямована по дотичній до окружності. Згідно з другим законом Ньютона, ця сила викликає тангенціальне прискорення або F = ma # 964; .
Використовуючи співвідношення a # 964; = # 946; r. отримуємо F = m # 946; r.
Помножимо обидві частини написаного вище рівності на r.
Fr = m # 946; r 2. (3.13)
Ліва частина виразу (3.13) є моментом сили: М = Fr. Права частина представляє собою твір кутового прискорення # 946; на момент інерції матеріальної точки А: J = m r 2.
Кутове прискорення точки при її обертанні навколо нерухомої осі пропорційно обертального моменту і обернено пропорційно моменту інерції (основне рівняння динаміки обертального руху матеріальної точки):
М = # 946; J або (3.14)
При постійному моменті обертає сили кутове прискорення буде величиною постійною і його можна виразити через різницю кутових швидкостей:
Тоді основне рівняння динаміки обертального руху можна записати у вигляді
[-Момент імпульсу (або момент кількості руху), М # 916; t - імпульс моменту сил (або імпульс крутного моменту)].
Основне рівняння динаміки обертального руху можна записати у вигляді
§ 3.4 Закон збереження моменту імпульсу
Розглянемо частий випадок обертального руху, коли сумарний момент зовнішніх сил дорівнює нулю. При обертальному русі тіла кожна його частинка рухається з лінійною швидкістю # 965; = # 969; r, [r, - радіус кола, яку описуючи-ет частка масою m, # 969; - кутова швидкість, однакова для всіх точок тіла].
Момент імпульсу тіла, що обертається дорівнює сумі моментів
імпульсів окремих його часток:
Зміна моменту імпульсу одно імпульсу моменту сил:
Якщо сумарний момент всіх зовнішніх сил, що діють на систему тіла відносно довільної нерухомої осі, дорівнює нулю, тобто М = 0, то dL і векторна сума моментів імпульсів тіл системи не змінюється з плином часу.
Сума моментів імпульсів всіх тіл ізольованої системи зберігається незмінною (закон збереження моменту імпульсу):
d (J # 969;) = 0 J # 969; = const (3.20)
Відповідно до закону збереження моменту імпульсу можна записати
де J1 і # 969; 1 - момент інерції і кутова швидкість в початковий момент часу, а й J2 і # 969; 2 - в момент часу t.
Із закону збереження моменту імпульсу випливає, що при М = 0 в процесі обертання системи навколо осі будь-яка зміна відстані від тел до осі обертання повинно супроводжуватися зміною швидкості їх обертання навколо цієї осі. Зі збільшенням відстані швидкість обертання зменшується, із зменшенням - зростає. Наприклад, гімнаст, який здійснює сальто, щоб встигнути зробити в повітрі кілька оборотів, під час стрибка згортається клубком. Балерина або фігуристка, кружляючи в піруети, розводить руки якщо хоче уповільнити обертання, і, навпаки, притискає їх до тіла, коли намагається обертатися якомога швидше.
§ 3.5 Кінетична енергія тіла, що обертається
Визначимо кінетичну енергію твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі. Розіб'ємо це тіло на n матеріальних точок. Кожна точка рухається з лінійною швидкістю # 965; i = # 969; ri. тоді кінетична енергія точки
Повна кінетична енергія обертового твердого тіла дорівнює сумі кінетичних енергій всіх його матеріальних точок:
(J - момент інерції тіла відносно осі обертання)
Якщо траєкторії всіх точок лежать в паралельних площинах (як у циліндра, скачується з похилій площині, кожна точка переміщається в своїй площині рис), це плоский рух. Відповідно до принципу Ейлера плоский рух завжди можна незліченною кількістю способів розкласти на поступальний і обертальний рух. Якщо кулька падає або ковзає уздовж похилій площині, він рухається тільки поступально; коли ж кулька котиться - він ще й обертається.
Якщо тіло здійснює поступальний і обертальний руху одночасно, то його повна кінетична енергія дорівнює
З зіставлення формул кінетичної енергії для поступально-го і обертального рухів видно, що мірою інертності при обертов-тельном русі служить момент інерції тіла.
§ 3.6 Робота зовнішніх сил при обертанні твердого тіла
При обертанні твердого тіла його потенційна енергія не змінюється, тому елементарна робота зовнішніх сил дорівнює приросту кінетичної енергії тіла:
З огляду на, що J # 946; = M, # 969; dr = d # 966 ;, маємо
# 916; A = M # 916; # 966; (3.24)
Робота зовнішніх сил при повороті твердого тіла на кінцевий кут # 966; дорівнює
При обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі робота зовнішніх сил визначається дією моменту цих сил щодо даної осі. Якщо момент сил відносно осі дорівнює нулю, то ці сили роботи не виробляють.