Моделювання випадкових подій - студопедія

У теорії ймовірностей реалізацію деякого комплексу умов називають випробуванням. Результат випробування, реєстрований як факт, називають подією.

Випадковим називають подія, яке в результаті випробування може наступити, а може і не настати (на відміну від достовірного події, яке при реалізації даного комплексу настає завжди, і неможливого події, яке при реалізації даного комплексу умов не настає ніколи). Вичерпної характеристикою випадкової події є ймовірність його настання. Прикладами випадкових подій є відмови в економічних системах; обсяги продукції, що випускається кожним підприємством в кожен день; котирування валют в обмінних пунктах; стан ринку цінних паперів і біржової справи і т. п.

Моделювання випадкової події полягає у визначенні ( «розіграші») факту його настання.

Для моделювання випадкової події А, що настає в досвіді з ймовірністю РА, досить одного випадкового (псевдослучайного) числа R, рівномірно розподіленого на інтервалі [0; 1]. У разі потрапляння ПСЧ R в інтервал [0; РА] подія А вважають, що настав в даному досвіді; в іншому випадку - не настали в даному досвіді. На рис. 10.5 показані обидва результату: при ПСЧ R1 подія слід вважати, що настав; при ПСЧ R2- подія в даному випробуванні не настав.

Очевидно, що чим більша ймовірність настання моделируемого події, тим частіше ПСЧ, рівномірно розподілені на інтервалі [0; 1], будуть потрапляти в інтервал [0; РА], що і означає факт настання події в випробуванні.

Для моделювання одного з повної групи N випадкових несумісних подій А 1, A 2. AN свероятностямі настання PA1, РА2 ,. PAN> відповідно також досить одного ПСЧ R.

Для таких випадкових подій можна записати

Факт настання однієї з подій групи визначають, виходячи з умови приналежності ПСЧ R того чи іншого інтервалу, на який розбивають інтервал [0; 1]. Так, на рис. 10.6 для ПСЧ R1 вважають, що настав подія А 2. Якщо ПСЧ дорівнювала R2, вважають, що настав подія A (N - 1).

Якщо група подій не є повною, вводять додаткове (фіктивне) подія A (N + 1), ймовірність якого визначають за формулою

Далі діють за тим самим викладеного алгоритму для повної групи подій з однією зміною: якщо ПСЧ потрапляє в останній (N + 1) -й інтервал, вважають, що жодне з N подій, складових неповну групу, не настав.

У практиці імітаційних досліджень часто виникає необхідність моделювання залежних подій, для яких ймовірність настання однієї події виявляється залежною від того, настав або не настав інша подія. В якості одного з прикладів залежних подій наведемо доставку вантажу споживачеві в двох випадках: коли маршрут руху відомий і був постачальником додатково уточнено і коли уточнення руху вантажу не проводилось. Зрозуміло, що ймовірність доставки вантажу від постачальника до споживача для наведених випадків буде різною.

Для того щоб провести моделювання двох залежних випадкових подій А і В, потрібно вибрати наступні повні та умовні ймовірності:

Зауважимо, що, якщо ймовірність настання події В за умови, що подія А не настав, не задана, її можна визначити за формулою

Існують два алгоритми моделювання залежних подій. Один з них умовно можна назвати «послідовним моделюванням»; інший - «моделюванням після попередніх розрахунків».

Послідовне моделювання. Алгоритм послідовного моделювання представлений на рис. 10.7.

Безперечними перевагами даного алгоритму є його простота і природність, оскільки залежні події «розігруються» послідовно - так, як вони наступають (або не наступають) в реальному житті, що і є характерною особливістю більшості імітаційних моделей. Разом з тим алгоритм передбачає триразове звернення до датчика випадкових чисел, що збільшує час моделювання.

Моделювання після попередніх розрахунків. Як легко помітити, наведені на рис. 10.7 чотири результату моделювання залежних подій утворюють повну групу несумісних подій. На цьому заснований алгоритм моделювання, який передбачає попередній розрахунок ймовірностей кожного з результатів і «розіграш» факту настання одного з них, як для будь-якої групи несумісних подій. Мал. 10.8 ілюструє розбивка інтервалу [0; 1] на чотири відрізка, довжини яких відповідають можливостям результатів настання подій.

На рис. 10.9 представлений алгоритм моделювання. Даний алгоритм передбачає одне звернення до датчика випадкових чисел, що забезпечує виграш у часі імітації в порівнянні з послідовним моделюванням, однак перед початком роботи алгоритму дослідник повинен розрахувати і ввести ймовірності реалізації всіх можливих результатів (природно, цю нескладну процедуру можна також оформити програмно, але це трохи подовжить алгоритм).