Методи рішення нелінійних рівнянь і задач лінійної алгебри, трехдіагональной матриці

Як було показано в розд. 3.2, симметрическую матрицю можна привести за допомогою перетворень подібності до трехдіагональной увазі. Крім того, трехдіагональной матриці представляють самостійний інтерес, оскільки вони зустрічаються в обчислювальній практиці, і нерідко потрібно знаходити їх власні значення і власні вектори. Розглянемо трехдіагональной матрицю виду

Тут елементи b 1, b 2, ... b nрасположени уздовж головної діагоналі; з1, с2.cn-1 - над нею; А2, а 3, ..., ап - під нею.

Щоб знайти власні значення, потрібно прирівняти нулю визначник або

Довільний визначник n-го порядку можна виразити через п мінорів (n-1) - го порядку шляхом розкладання його за елементами будь-якого рядка або будь-якого стовпчика. Розкладемо визначник (3.15) за елементами останнього рядка, в якій всього два ненульових елемента. отримаємо

Оскільки мінор містить в останньому стовпці лише один ненульовий елемент cn-1. то, розкладаючи його за елементами цього стовпця, одержуємо

Підставляючи цей вираз в формулу (3.16), отримуємо рекурентні співвідношення, що виражають мінор вищого порядку через мінори двох нижчих порядків:

Покладемо. Мінор першого порядку дорівнює елементу а11 визначника, тобто в даному випадку Перевіримо, з урахуванням значень правильність формули (3.17) при п = 2:

Обчислюючи мінор другого порядку визначника (3.15), переконуємося в справедливості вираження (3.18). Таким чином, за допомогою рекурентних співвідношень (3.17) можна знайти вираз для характеристичного многочлена Dn (# 955;) для будь-кого. Обчислюючи коріння цього многочлена, отримуємо власні значення трехдіагональной матриці (3.14).

Будемо вважати, що власні значення # 955; 1 # 955; 2. # 955; n матриці (3.14) обчислені. Знайдемо відповідні їм власні вектори. Для будь-якого свого значення власний вектор знаходиться з системи рівнянь (3.4)

Перейдемо від матричної форми запису цієї системи до розгорнутої (А - матриця виду (3.14),):

Матриця системи (3.19) вироджена, оскільки її визначник (3.15) дорівнює нулю. Можна показати, що якщо, то останнє рівняння системи (3.19) є наслідком інших рівнянь. Дійсно, якщо відкинути перший стовпець і останній рядок в матриці А, то замість (3.15) отримаємо визначник виду

Отже, всі рядки з першої по (n -1) -у лінійно незалежні, останнє рівняння системи (3.19) - наслідок інших, і одне невідоме цієї системи є вільним. Відкидаючи останнє рівняння системи (3.19), записуємо її в вигляді

Вважаючи компоненту х 1свободним невідомим і вважаючи її рівною будь-якому нульове значення (інакше при х 1 = 0 інші компоненти також будуть нульовими), можна з системи (3.21) знайти послідовно всі інші компоненти: з першого рівняння легко обчислити x 2, з другого х зи т.д. з останнього хп. Оскільки визначник (3.20) цієї системи відмінний від нуля, то вона має єдине рішення. Описаним способом можуть бути знайдені власні вектори, які відповідають усім власним значенням # 955; 1 # 955; 2. # 955; n трехдіагональной матриці (3.14).

Якщо трехдіагодальная матриця отримана в результаті послідовності перетворень подібності вихідної симетричною матриці, то, як вже зазначалося, всі власні значення трехдіагональной матриці є одночасно власними значеннями вихідної матриці, а власні вектори перераховують за формулами (3.13). При цьому обчислювати твори матриць на власні вектори трехдіагональной матриці недоцільно, оскільки при множенні матриці Pij на вектор х змінюються тільки дві його компоненти: xi і xj. Тому в якості цих компонент беремо значення і, що скорочує обсяг обчислень в порівнянні з множенням матриці Pij на вектор х.