Методи інтегрування ірраціональних функцій (коренів)

Розглянуто основні методи інтегрування ірраціональних функцій (коренів). Дрібно-лінійна ірраціональність, диференційний біном, інтеграли, що містять квадратний корінь з квадратного тричлена. Деякі еліптичні інтеграли, що виражаються через елементарні функції.

Ірраціональна функція від змінної - це функція, яка утворена з змінної і довільних постійних за допомогою кінцевого числа операцій додавання, віднімання, множення (зведення в целочисленную ступінь), ділення і вилучення коренів. Ірраціональна функція відрізняється від раціональної тим, що ірраціональна функція містить операції вилучення коренів.

Існує три основних типи ірраціональних функцій, невизначені інтеграли від яких наводяться до интегралам від раціональних функцій. Це інтеграли, що містять корені довільних цілочисельних ступенів з дрібно-лінійної функції (коріння можуть бути різних ступенів, але від однієї і тієї ж, дрібно-лінійної функції); інтеграли від диференціального бінома і інтеграли з квадратним коренем з квадратного тричлена.

Важливе зауваження. Коріння багатозначні!

При обчисленні інтегралів, що містять корені, часто зустрічаються вирази виду. де - деяка функція від змінної інтегрування. При цьому слід мати на увазі, що. Тобто, при t> 0. | t | = T. При t 0 і t 0. а нижній - до випадку t N. де N - загальний знаменник дробів m і n.
2) Якщо - ціле. Підстановка a x n + b = t M. де M - знаменник числа p.
3) Якщо - ціле. Підстановка a + b x - n = t M. де M - знаменник числа p.

В інших випадках, такі інтеграли не беруться через елементарні функції.

Іноді такі інтеграли можна спростити за допомогою формул приведення:
;
.

Інтеграли, що містять квадратний корінь з квадратного тричлена

Такі інтеграли мають вигляд:
,
де R - раціональна функція. Для кожного такого інтеграла є кілька методів вирішення.
1) За допомогою перетворень привести до більш простим интегралам.
2) Застосувати тригонометричні або гіперболічні підстановки.
3) Застосувати підстановки Ейлера.

Розглянемо ці методи більш докладно.

1) Перетворення підінтегральної функції

Застосовуючи формулу. і виконуючи алгебраїчні перетворення, наводимо підінтегральної функції до виду:
,
де φ (x), ω (x) - раціональні функції.
Детальніше >>>

Далі виділяючи цілу частину у ω (x) і розкладаючи залишок на найпростіші дроби, отримуємо інтеграли трьох типів.

Інтеграл виду:
,
де Pn (x) - многочлен ступеня n.

Такі інтеграли знаходяться методом невизначених коефіцієнтів, використовуючи тотожність:

Диференціюючи це рівняння і прирівнюючи ліву і праву частини, знаходимо коефіцієнти Ai.
Детальніше >>>

Інтеграл виду:
,
де Pm (x) - многочлен ступеня m.

Підстановкою t = (x - α) -1 цей інтеграл приводиться до попереднього типу. Якщо m ≥ n. то у дробу слід виділити цілу частину.
Детальніше >>>

Тут ми робимо підстановку:
.
Після чого інтеграл набуде вигляду:
.
Далі, постійні α, β потрібно вибрати такими, щоб в знаменнику коефіцієнти при t звернулися в нуль:
B = 0, B1 = 0.
Тоді інтеграл розпадається на суму інтегралів двох видів:
,
,
які інтегруються підстановками:
u 2 = A1 t 2 + C1.
v 2 = A1 + C1 t -2.
Детальніше >>>

2) Тригонометричні і гіперболічні підстановки

У деяких випадках, застосування тригонометричних і гіперболічних підстановок призводить до більш коротким обчислень. Для їх застосування, за допомогою лінійної підстановки, квадратний тричлен під знаком інтеграла потрібно привести до суми або різниці квадратів. Потім потрібно застосувати одну з тригонометричних або гіперболічних підстановок. Основні підстановки перераховані нижче. Більш докладно вони розглядаються на сторінці:
Тригонометричні і гіперболічні підстановки >>>

Для інтегралів виду. a> 0.
маємо три основні підстановки:
;
;
;

Для інтегралів. a> 0.
маємо такі підстановки:
;
;
;

І, нарешті, для інтегралів. a> 0.
підстановки наступні:
;
;
;

3) Підстановки Ейлера

Також інтеграли можуть бути зведені до интегралам від раціональних функцій однієї з трьох підстановок Ейлера:
. при a> 0;
. при c> 0;
. де x1 - корінь рівняння a x 2 + b x + c = 0. Якщо це рівняння має дійсні корені.

еліптичні інтеграли

Наприкінці розглянемо інтеграли виду:
,
де R - раціональна функція. Такі інтеграли називаються еліптичними. У загальному вигляді вони не виражаються через елементарні функції. Однак трапляються випадки, коли між коефіцієнтами A, B, C, D, E існують співвідношення, при яких такі інтеграли виражаються через елементарні функції.

Нижче наводиться приклад, пов'язаний з поворотними многочленами. Обчислення подібних інтегралів виконується за допомогою підстановок:
.

Тут при x> 0 (u> 0) беремо верхній знак '+'. при x <0 ( u <0 ) – нижний ′ – ′.