метод ньютона

де x (0) - деяке початкове наближення до кореня.

При цьому передбачається, що f '(x) ≠ 0 на відрізку [a, b].

Геометричний висновок формули.

Геометрично ітераційний процес методу Ньютона означає заміну на k-тої ітерації графіка функції y = f (x) на дотичну до цієї функції в точці (x (k). F (x (k))) (в зв'язку з цим метод також іноді називається методом дотичних). Рівняння дотичної має вигляд
y = f '(x (k)) (x-x (k)) + f (x (k)) Знайдемо точку перетину з віссю OX цієї дотичної (замість функції y = f (x)), що відповідає знаходженню рішення лінійного рівняння:

замість нелінійного f (x) = 0.

Аналітичний висновок формули.

Збіжність методу Ньютона.

Для дослідження збіжності методу Ньютона перепишемо його у вигляді окремого випадку методу простої ітерації, достатні умови збіжності якого вже відомі. маємо:

Перевіримо така умова теореми про збіжність методу простої ітерації:

У разі методу Ньютона маємо:

Нехай корінь X рівняння f (x) = 0 має кратність p ≥ 1. Тоді в досить малій околиці кореня X має місце уявлення:

ПРИКЛАД 2.2 Побудуємо ітераційний процес Ньютона для знаходження кореня рівняння f (x) ≡x 2 - a = 0, де a> 0 (відзначимо, що рішення даного рівняння рівносильно вилучення квадратного кореня з довільного позитивного числа a).

Загальна формула методу Ньютона приймає в даному випадку вид:

Метод Ньютона для системи двох рівнянь.

Розглянемо систему двох рівнянь

Алгоритм рішення системи за методом Ньютона задається формулами:

ЗАВДАННЯ 2.1 Вивести координатне уявлення методу Ньютона.

ЗАУВАЖЕННЯ 2.4 Критерієм закінчення ітераційного процесу Ньютона для обчислення кореня системи рівнянь з точністю # 101; може служити: