Метод Гаусса - студопедія

Одним з найпростіших способів вирішення системи лінійних рівнянь є прийом, заснований на обчисленні визначників (правило Крамера). Його перевага полягає в тому, що він дозволяє відразу провести запис рішення, особливо він зручний в тих випадках, коли коефіцієнти системи не є числами, а якимись параметрами. Його недолік - громіздкість обчислень в разі великого числа рівнянь, до того ж правило Крамера безпосередньо не може бути застосовано до систем, у яких число рівнянь не збігається з числом невідомих. У таких випадках зазвичай застосовують метод Гаусса.

Системи лінійних рівнянь, що мають один і той же безліч рішень, називаються еквівалентними. Очевидно, що безліч рішень лінійної системи не зміниться, якщо будь-які рівняння поміняти місцями, або помножити одне з рівнянь на якесь ненульове число, або якщо одне рівняння додати до іншого.

Метод Гаусса (метод послідовного виключення невідомих) полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система приводиться до еквівалентної системи ступеневої виду. Спочатку за допомогою 1-го рівняння виключається x1 з усіх наступних рівнянь системи. Потім з помощью2-го рівняння виключається x2 з 3-го і всіх наступних рівнянь. Цей процес, званий прямим ходом методу Гауса. триває до тих пір, поки в лівій частині останнього рівняння залишиться тільки одне невідоме xn. Після цього проводиться зворотний хід методу Гаусса - вирішуючи останнє рівняння, знаходимо xn; після цього, використовуючи це значення, з передостаннього рівняння обчислюємо xn-1 і т.д. Останнім знаходимо x1 з першого рівняння.

Перетворення Гаусса зручно проводити, здійснюючи перетворення не з самими рівняннями, а з матрицями їх коефіцієнтів. Розглянемо матрицю:

звану розширеної матрицею системи, бо в неї, крім основної матриці системи, включений стовпець вільних членів. Метод Гаусса заснований на приведенні основної матриці системи до трикутного вигляду (або трапецієподібні увазі в разі неквадратних систем) за допомогою елементарних перетвореннях рядків (!) Розширеної матриці системи.

Приклад 5.1. Вирішити систему методом Гаусса:

Рішення . Випишемо розширену матрицю системи і, використовуючи перший рядок, після цього будемо обнуляти інші елементи:

отримаємо нулі у 2-й, 3-й і 4-й рядках першого шпальти:

Тепер потрібно щоб всі елементи в другому стовпці нижче 2-го рядка дорівнювали нулю. Для цього можна помножити другий рядок на -4/7 і додати до 3-му рядку. Однак щоб не мати справу з дробом, створимо одиницю у 2-му рядку другого шпальти і тільки

Тепер, щоб отримати трикутну матрицю, потрібно обнулити елемент четвертого рядка 3-го стовпця, для цього можна помножити третій рядок на 8/54 і додати її до четвертої. Однак щоб не мати справу з дробом поміняємо місцями 3-ю і 4-ю рядки і 3-й і 4-й стовпець і тільки після цього зробимо обнулення зазначеного елемента. Зауважимо, що при перестановці стовпців міняються місцями, відповідні змінні і про це потрібно пам'ятати; інші елементарні перетворення за допомогою стовпців (додавання і множення на число) виробляти не можна!

Остання спрощена матриця відповідає системі рівнянь, еквівалентної вихідної:

Звідси, використовуючи зворотний хід методу Гаусса, знайдемо з четвертого рівняння x3 = -1; з третього x4 = -2, з другого x2 = 2 і з першого рівняння x1 = 1. У матричному вигляді відповідь записується у вигляді

Ми розглянули випадок, коли система є певною, тобто коли є тільки одне рішення. Подивимося, що вийде, якщо система несумісна або невизначена.

Приклад 5.2. Дослідити систему методом Гаусса:

Рішення . Виписуємо і перетворимо розширену матрицю системи

Записуємо спрощену систему рівнянь:

Тут, в останньому рівнянні вийшло, що 0 = 4, тобто протиріччя. Отже, система не має рішення, тобто вона несумісна. à

Приклад 5.3. Дослідити і вирішити систему методом Гаусса:

Рішення . Виписуємо і перетворимо розширену матрицю системи:

В результаті перетворень, в останньому рядку вийшли одні нулі. Це означає, що число рівнянь зменшилася на одиницю:

Таким чином, після спрощень залишилося два рівняння, а невідомих чотири, тобто два невідомих "зайвих". Нехай "зайвими", або, як кажуть, вільними змінними. будуть x3 і x4. тоді

Записане подібним чином рішення називається загальним. оскільки, надаючи параметрам a і b різні значення, можна описати всі можливі рішення системи. à