Матриці і визначники

Матриці. Операції над матрицями

Прямокутною матрицею розміру m x n називається сукупність mn чисел, розташованих у вигляді прямокутної таблиці, що містить m рядків і n стовпців. Ми будемо записувати матрицю у вигляді

або скорочено у вигляді A = (aij) (i =

). Числа aij. складові цю матрицю, називаються її елементами; перший індекс вказує на номер рядка, другий - на номер стовпця. Дві матриці A = (aij) і B = (bij) однакового розміру називаються рівними, якщо попарно рівні їх елементи, які стоять на однакових місцях, тобто A = B, якщо aij = bij.

Матриця, що складається з одного рядка чи одного шпальти, називається відповідно вектор-рядком або вектор-стовпцем. Вектор-стовпці і вектор-рядки називають просто векторами.

Матриця, що складається з одного числа, ототожнюється з цим числом. Матриця розміру m x n, все елементи якої дорівнюють нулю, називаються нульової матрицею і позначається через 0. Елементи матриці з індексами називають елементами головною діагоналі. Якщо число рядків матриці дорівнює числу стовпців, тобто m = n, то матрицю називають квадратної порядку n. Квадратні матриці, які мають відмінні від нуля лише елементи головною діагоналі, називаються діагональними матрицями і записуються так:

.

Якщо всі елементи aii діагональної матриці рівні 1, то матриця називається одиничною і позначається буквою Е:

.

Квадратна матриця називається трикутною, якщо всі елементи, які стоять вище (або нижче) головної діагоналі, дорівнюють нулю. Транспонированием називається таке перетворення матриці, при якому рядки і стовпці міняються місцями зі збереженням їх номерів. Позначається транспонирование значком Т нагорі.

Нехай дана матриця (4.1). Переставимо рядки зі стовпчиками. отримаємо матрицю

,

яка буде транспонованою по відношенню до матриці А. Зокрема, при транспонировании вектора-стовпця виходить вектор-рядок і навпаки.

Твором матриці А на число # 955; називається матриця, елементи якої виходять з відповідних елементів матриці А множенням на число # 955 ;: # 955; A = ( # 955; aij).

Сумою двох матриць А = (aij) і B = (bij) одного розміру називається матриця C = (cij) того ж розміру, елементи якої визначаються за формулою cij = aij + bij.

Твір АВ матриці А на матрицю В визначається в припущенні, що число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В.

Твором двох матриць А = (aij) і B = (bjk), де i =

, заданих в певному порядку АВ, називається матриця С = (cik), елементи якої визначаються за наступним правилом:

Інакше кажучи, елементи матриці-твори визначаються в такий спосіб: елемент i-го рядка і k-го стовпця матриці С дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи k-го стовпця матриці В.

Перестановкою чисел 1, 2. n називається будь-яке розташування цих чисел у певному порядку. У елементарної алгебрі доводиться, що число всіх перестановок, які можна утворити з n чисел, одно 12. n = n. Наприклад, з трьох чисел 1, 2, 3 можна утворити 3! = 6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Кажуть, що в даній перестановці числа i і j становлять інверсію (безлад), якщо i> j , але i стоїть в цій перестановці раніше j, тобто якщо більше стоїть лівіше меншого.

Перестановка називається парною (або непарної), якщо в ній відповідно парне (непарне) загальне число інверсій. Операція, за допомогою якої від однієї перестановки переходять в іншу, складеної з тих же n чисел, називається підстановкою n-го ступеня.

Підстановка, яка переводить одну перестановку в іншу, записується двома рядками в загальних дужках, причому числа, що займають однакові місця в розглянутих перестановках, називаються відповідними і пишуться одне за іншим. Наприклад, символ

позначає підстановку, в якій 3 перетворюється на 4, 1 → 2, 2 → 1, 4 → 3. Підстановка називається парної (або непарній), якщо загальна кількість інверсій в обох рядках підстановки парне (непарне). Будь-яка підстановка n-го ступеня може бути записана у вигляді

,тобто з натуральним розташуванням чисел у верхньому рядку.

Нехай нам дана квадратна матриця порядку n

Розглянемо всі можливі твори по n елементів цієї матриці, узятих по одному і тільки по одному з кожного рядка і кожного шпальти, тобто творів виду:

де індекси q1. q2. qn становлять деяку перестановку з чисел

1, 2. n. Число таких творів одно числу різних перестановок з n символів, тобто одно n. Знак твори (4.4) дорівнює (- 1) q. де q - число інверсій в перестановці других індексів елементів.

Визначником n -го порядку, відповідним матриці (4.3), називається алгебраїчна сума n! членів виду (4.4). Для запису визначника вживається символ # 8204; A # 8204; =

(Детермінант, або визначник, матриці А).

1. Визначник не змінюється при транспонировании.

2. Якщо один з рядків визначника складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.

3. Якщо у визначнику переставити два рядки, визначник змінить знак.

4. Визначник, що містить дві однакові рядки, дорівнює нулю.

5. Якщо всі елементи деякого рядка визначника помножити на деяке число k, то сам визначник множиться на k.

6. Визначник, у якому дві пропорційні рядки, дорівнює нулю.

7. Якщо всі елементи i-го рядка визначника представлені у вигляді суми двох доданків aij = bj + cj (j =

), То визначник дорівнює сумі визначників, у яких всі рядки, крім i-ой, - такі ж, як в заданому визначнику, а i-й рядок в одному з доданків складається з елементів bj. в іншому - з елементів cj.

8. Визначник не змінюється, якщо до елементів однієї з його рядків додаються відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне і те ж число.

Зауваження. Всі властивості залишаються справедливими, якщо замість рядків взяти стовпчики.

Мінором Mij елемента aij визначника d n-го порядку називається визначник порядку n-1, який виходить з d викреслюванням рядка і стовпця, що містять цей елемент.

Алгебраїчним доповненням елемента aij визначника d називається його мінор Mij. взятий зі знаком (-1) i + j. Алгебраїчне доповнення елемента aij будемо позначати Aij. Таким чином, Aij = (-1) i + j + Mij.

Способи практичного обчислення визначників, засновані на тому, що визначник порядку n може бути виражений через визначники нижчих порядків, дає наступна теорема.

Теорема (розкладання визначника по рядку або стовпцю).

Визначник дорівнює сумі творів всіх елементів довільної його рядки (чи шпальти) на їх алгебраїчні доповнення. Інакше кажучи, має місце розкладання d по елементам i-го рядка

)

або j- гостолбца

).

Зокрема, якщо всі елементи рядка (або стовпця), крім одного, дорівнюють нулю, то визначник дорівнює цьому елементу, помноженому на його алгебраїчне доповнення.

Розглянемо прямокутну матрицю (4.1). Якщо в цій матриці виділити довільно k рядків і k стовпців, то елементи, які стоять на перетині виділених рядків і стовпців, утворюють квадратну матрицю k-го порядку. Визначник цієї матриці називається мінор k-го порядку матриці А. Очевидно, що матриця А має минорами будь-якого порядку від 1 до найменшого з чисел m і n. Серед усіх відмінних від нуля мінорів матриці А знайдеться принаймні один мінор, порядок якого буде найбільшим. Найбільший з порядків мінорів даної матриці, відмінних від нуля, називається рангом матриці. Якщо ранг матриці А дорівнює r, то це означає, що в матриці А є відмінний від нуля мінор порядку r, але всякий мінор порядку, більшого ніж r, дорівнює нулю. Ранг матриці А позначається через r (A). Очевидно, що виконується співвідношення

0 ≤ r (A) ≤ min (m, n).

Ранг матриці перебуває або методом облямівки мінорів, або методом елементарних перетворень. При обчисленні рангу матриці першим способом варто переходити від мінорів нижчих порядків до минорам вищого порядку. Якщо вже знайдений мінор D k-го порядку матриці А, відмінний від нуля, то вимагають обчислення лише мінори (k + 1) -го порядку, оздоблюють мінор D, тобто містять його як мінору. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює k.

Елементарними називаються такі перетворення матриці:

1) перестановка двох будь-яких рядків (або стовпчиків),

2) множення рядка (або стовпця) на відмінне від нуля число,

3) додаток до одного рядка (або стовпця) інший рядки (чи шпальти), помноженою на певна кількість.

Дві матриці називаються еквівалентними, якщо одна з них виходить з іншої з допомогою кінцевого безлічі елементарних перетворень.

Еквівалентні матриці не є, взагалі кажучи, рівними, та їх ранги рівні. Якщо матриці А і В еквівалентні, то це записується так: A

Канонічної матрицею називається матриця, у якої на початку

головній діагоналі стоять поспіль кілька одиниць (число яких

може дорівнювати нулю), а всі інші елементи дорівнюють нулю,

.

За допомогою елементарних перетворень рядків і стовпців будь-яку матрицю можна привести до канонічної. Ранг канонічної матриці дорівнює числу одиниць на її головній діагоналі.

4. Зворотній матриця

Розглянемо квадратну матрицю

.

позначимо # 916; = Det A.

Квадратна матриця А називається невироджених, або неособенной, якщо її визначник відмінний від нуля, і вироджених, або особливою, якщо # 916; = 0.

Квадратна матриця В називається оберненою для квадратної матриці А такого ж порядку, якщо їх твір А У = В А = Е, де Е - одинична матриця того ж порядку, що і матриці А і В.

Теорема. Для того, щоб матриця А мала зворотний, необхідно і достатньо, щоб їх визначник був різниться від нуля.

Матриця, зворотна матриці А, позначається через А -1. так що В = А -1. Зворотній матриця обчислюється за формулою

де Аij - алгебраїчні доповнення елементів aij.

Обчислення оберненої матриці за формулою (4.5) для матриць високого порядку дуже занадто багато, тому на практиці буває зручно знаходити зворотний матрицю за допомогою методу елементарних перетворень (ЕП). Будь-яку неособенную матрицю А шляхом ЕП тільки стовпців (або тільки рядків) можна привести до одиничної матриці Є. Якщо скоєні над матрицею А ЕП в тому ж порядку застосувати до одиничної матриці Е, то в результаті вийде зворотна матриця. Зручно здійснювати ЕП над матрицями А і Е одночасно, записуючи обидві матриці поруч через риску. Відзначимо ще раз, що при знаходженні канонічного виду матриці з метою знаходження її рангу можна користуватися перетвореннями рядків і стовпців. Якщо потрібно знайти зворотну матрицю, в процесі перетворень слід використовувати тільки рядки або тільки стовпці.