Матрична алгебра - елементарні перетворення матриць

Матрична алгебра - Елементарні перетворення матриць

Елементарні перетворення матриць

Елементарні перетворення матриці знаходять широке застосування в різних математичних задачах. Наприклад, вони складають основу відомого методу Гаусса (методу виключення невідомих) для розв'язання системи лінійних рівнянь [1].

До елементарним перетворенням відносяться:
1) перестановка двох рядків (стовпців);
2) множення всіх елементів рядка (стовпця) матриці на деяке число, не рівне нулю;
3) складання двох рядків (стовпців) матриці, помножених на одне і те ж число, відмінне від нуля.

Дві матриці називаються еквівалентними. якщо одна з них може бути отримана з іншого після кінцевого числа елементарних перетворень. У загальному випадку еквівалентні матриці рівними не є, але мають один і той же ранг.

Обчислення визначників за допомогою елементарних перетворень

За допомогою елементарних перетворень легко обчислити визначник матриці. Наприклад, потрібно обчислити визначник матриці:

де ≠ 0.
Тоді можна винести множник.

тепер, віднімаючи з елементів j - го столбцасоответствующіе елементи першого стовпчика, помножені на, отримаємо визначник:

який дорівнює: де

Потім повторюємо ті ж дії для і, якщо всі елементи то тоді остаточно отримаємо:

Якщо для якогось проміжного визначника виявиться, що його лівий верхній елемент. то необхідно переставити рядки або стовпці ВТАК, щоб новий лівий верхній елемент був не дорівнює нулю. Якщо Δ ≠ 0, то це завжди можна зробити. При цьому слід враховувати, що знак визначника змінюється в залежності від того, який елемент є головним (тобто, коли матриця перетворена так, що). Тоді знак відповідного визначника дорівнює.

П р и м і р. За допомогою елементарних перетворень привести матрицю

до трикутного вигляду.

Р і ш е н і е. Спочатку помножимо перший рядок матриці на 4, а другу на (-1) і додамо перший рядок до другої:

Тепер помножимо перший рядок на 6, а третю на (-1) і додамо перший рядок до третьої:

Нарешті, помножимо другий рядок на 2, а третю на (-9) і додамо другий рядок до третьої:

В результаті отримана верхня трикутна матриця