Математика 10 клас взаємне розміщення прямої і площини в просторі

Всі можливі випадки взаємного розташування прямої і площини в просторі:

1. Пряма лежить на площині (належить площині)

Пряма лежить на площині, якщо всі крапки прямій належать площині.

Зауваження. Для того, щоб пряма лежала на площині, необхідно і достатньо, щоб дві будь-які точки цієї прямої належали цій площині.

2. Пряма перетинає площину

Пряма перетинає площину, якщо пряма і площину мають єдину спільну точку

3. Пряма паралельна площині

Пряма паралельна площині, якщо пряма і площина не мають спільних точок. (Вони не перетинаються

Затвердження 1. Припустимо, що пряма a і площину α паралельні, а площину β проходить через пряму a. Тоді можливі два випадки:

1. Площина β паралельна площині α;
2. Площина β перетинає площину α. В цьому випадку пряма b, яка є лінією перетину площин α і β, буде паралельна прямій a.
   
   
   

Доведення . Розглянемо випадок 2 і припустимо противне. Припустимо, що прямі a і b перетинаються в деякій точці P.

Але тоді точка P виявляється точкою перетину прямої a і площини α. і ми отримуємо протиріччя з тим, що пряма a і площину α паралельні. Отримане протиріччя і завершує доказ твердження 1.

Затвердження 2 (ознака паралельності прямої і площини). Якщо пряма a. не що у площині α. паралельна деякій прямій b. лежить в площині α. то пряма a і площину α паралельні.

Доведення. Доведемо ознака паралельності прямої і площини "від протилежного". Припустимо, що пряма a перетинає площину α в деякій точці P. Проведемо площину β через паралельні прямі a і b.

Точка P лежить на прямій a і належить площині β. Але за припущенням точка P належить і площини α. отже точка P лежить на прямій b, по якій перетинаються площини α і β. Однак прямі a і b паралельні за умовою і не можуть мати спільних точок.

Отримане протиріччя завершує доказ ознаки паралельності прямої і площини.

• Якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна двом прямим, лежачим в цій площині і проходить через точку перетину даної прямої і площини, то вона перпендикулярна площині.
• Якщо площина перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і інший.
• Якщо дві прямі перпендикулярні одній і тій же площині, то вони паралельні.
• Якщо пряма, що лежить в площині, перпендикулярна проекції похилій, то вона перпендикулярна і самої похилої.
• Якщо пряма, що не лежить у цій площині, паралельна який-небудь прямий, розташованої в цій площині, то вона паралельна цій площині.
• Якщо пряма паралельна площині, то вона паралельна деякій прямій на цій площині.
• Якщо пряма і площина перпендикулярні одній і тій же прямій, то вони паралельні.
• Всі точки прямої, паралельної площині, однаково віддалені від цієї площини.

Питання до конспектів

Площина α, паралельна стороні ВС трикутника АВС, перетинає сторони АВ і АС в точках M і N відповідно. Знайдіть довжину відрізка ВС, якщо MN = 6 см, а АМ: МВ = 3: 5

Площина α, паралельна стороні KL трикутника CKL, перетинає сторони LC і KС в точках P і D відповідно. Знайдіть довжину відрізка PD, якщо KL = 27 см, а KD: DC = 7: 2