Математичне сподівання дискретної випадкової величини

Закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак часто закон розподілу невідомий і доводиться обмежуватися меншими відомостями. Іноді навіть вигідніше користуватися числами, які описують випадкову величину сумарно, такі числа називають числовими характеристиками випадкової величини. До числа важливих числових характеристик відноситься математичне очікування.

Математичне сподівання, як буде показано далі, приблизно дорівнює середньому значенню випадкової величини. Для вирішення багатьох завдань досить знати математичне очікування. Наприклад, якщо відомо, що математичне очікування числа вибиваються очок у першого стрільця більше, ніж у другого, то перший стрілок в середньому вибиває більше очок, ніж другий, і, отже, стріляє краще другого.

Определеніе4.1: Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень на їх імовірності.

Нехай випадкова величина X може приймати тільки значення x1, x2, ... xn. ймовірності яких відповідно рівні p1, p2, ... pn. Тоді математичне очікування M (X) випадкової величини X визначається рівністю

Eсли дискретна випадкова величина X приймає рахункове безліч можливих значень, то

причому математичне сподівання існує, якщо ряд у правій частині рівності сходиться абсолютно.

Приклад. Знайти математичне сподівання числа появ події A в одному випробуванні, якщо ймовірність події A дорівнює p.

Рішення: Випадкова величина X - число появ події A має розподіл Бернуллі, тому

Таким чином, математичне очікування числа появ події в одному випробуванні дорівнює ймовірності цієї події.

Імовірнісний сенс математичного очікування