Лінійно залежні і лінійно незалежні вектора

Визначення. Лінійна комбінація x 1 a 1 +. + Xn an називається тривіальною. якщо всі коефіцієнти x 1. xn дорівнюють нулю.

Визначення. Лінійна комбінація x 1 a 1 +. + Xn an називається нетривіальною. якщо хоча б один з коефіцієнтів x 1. xn не дорівнює нулю.

Визначення. Вектора a 1. an називаються лінійно незалежними. якщо не існує нетривіальною комбінації цих векторів дорівнює нульовому вектору.

Визначення. Вектора a 1. an називаються лінійно залежними. якщо існує нетривіальна комбінація цих векторів дорівнює нульовому вектору.

Властивості лінійно залежних векторів:

Для 2-х і 3-х мірних векторів.

Два лінійно залежні вектори - колінеарні. (Колінеарні вектора - лінійно залежні.).

Для 3-х мірних векторів.

Три лінійно залежні вектори - компланарні. (Три компланарні вектора - лінійно залежні.)

Для n -мірних векторів.

n + 1 вектор завжди лінійно залежні.

Приклади завдань на лінійну залежність і лінійну незалежність векторів:

Приклад 1. Перевірити чи будуть вектора a =, b =, c =, d = лінійно незалежними.

Вектора будуть лінійно залежними, так як розмірність векторів менше кількості векторів.

Приклад 2. Перевірити чи будуть вектора a =, b =, c = лінійно незалежними.

Рішення: Знайдемо значення коефіцієнтів при якому лінійна комбінація цих векторів буде дорівнює нульовому вектору.

Це векторне рівняння можна записати у вигляді системи лінійних рівнянь

Дане рішення показує, що система має безліч рішень, тобто існує не нульова комбінація значень чисел x 1. x 2. x 3 таких, що лінійна комбінація векторів a. b. c дорівнює нульовому вектору, наприклад:

а це значить вектора a. b. c лінійно залежні.

Відповідь: вектора a. b. c лінійно залежні.

Приклад 3. Перевірити чи будуть вектора a =, b =, c = лінійно незалежними.

Рішення: Знайдемо значення коефіцієнтів при якому лінійна комбінація цих векторів буде дорівнює нульовому вектору.

Це векторне рівняння можна записати у вигляді системи лінійних рівнянь