Лінійні операції над векторами

Основні поняття ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

Скалярні і векторні величини

З курсу елементарної фізики відомо, що деякі фізичні величини, такі як температура, об'єм, маса тіла, щільність і т.д. визначаються тільки числовим значенням. Такі величини називаються скалярними величинами, або скалярами.

Для визначення ж деяких інших величин, таких як сила, швидкість, прискорення і тому подібних, крім числових значень необхідно задати ще і їх напрям в просторі. Величини, які крім абсолютної величини характеризуються ще й напрямком, називаються векторними.

ОпределеніеВектором називається спрямований відрізок, який визначається двома точками: перша точка визначає початок вектора, а друга - його кінець. Тому ще говорять, що вектор - це впорядкована пара точок.

На малюнку вектор зображується відрізком прямої, на якому стрілкою зазначене напрямок від початку вектора до його кінця. Наприклад, рис. 2.1.

Якщо початок вектора збігається з точкою , а кінець з точкою, то вектор позначається. Крім цього, часто вектори позначають однією маленькою буквою зі стрілкою над нею. У книжках іноді стрілку опускають, тоді для позначення вектора вживають жирний шрифт.

До векторах відноситься нульовий вектор. у якого початок і кінець збігаються. він позначається

або просто.

Відстань між початком і кінцем вектора називається його довжиною, або модулем. Модуль вектора позначається двома вертикальними рисками ліворуч:

, або без стрілокабо.

Вектори, паралельні до однієї прямої, називаються колінеарними.

Вектори, що лежать в одній площині або паралельні одній і тій же площині, називаються компланарними.

Нульовий вектор вважається колінеарну до будь-якого вектору. Довжина його дорівнює 0.

Визначення Два вектора

іназиваються рівними (рис. 2.2), якщо вони:1) колінеарні; 2) сонаправлени 3) рівні по довжині.

Це записують так:

(2.1)

З визначення рівності векторів випливає, що при паралельному перенесенні вектора виходить вектор, рівний початкового, тому початок вектора можна розмістити в будь-яку точку простору. Такі вектори (в теоретичної механіки, геометрії), початок яких можна розміщувати в будь-якій точці простору, називають вільними. І саме такі вектори ми будемо розглядати.

ОпределеніеСістема векторів

називається лінійно залежною, якщо існують такі постійні, серед яких є хоча б одна відмінна від нуля, і для яких виконується рівність.

ОпределеніеБазісом в просторі називаються довільні три некомпланарних вектора, які взяті в певній послідовності.

ОпределеніеЕслі

- базис і вектор, то числаназиваються координатами векторав даному базисі.

Координати вектора будемо писати в фігурних дужках після позначення вектора. Так наприклад,

означає, що векторв деякому обраному базисі має розкладання :.

З властивостей множення вектора на число та додавання векторів випливає твердження щодо лінійних дій над векторами, які задані координатами.

Для того, щоб знайти координати вектора, якщо відомі координати його початку і кінця, необхідно з відповідною координати його кінця відняти координату початку.

Лінійними операціями над векторами називаються операції додавання (віднімання) векторів і множення вектора на число. Розглянемо їх.

ОпределеніеПроізведеніем вектора

на числоназивається вектор, що збігається за напрямком з вектором, якщо, має протилежний зміст, якщонегативне. Довжина цього вектора дорівнює добутку довжини векторана модуль числа.

П

ример. побудувати вектор , якщоі(Рис. 2.3).

При множенні вектора на число його координати множаться на це число.

Дійсно, якщо, то

.

твором вектора

наназивається вектор;- протилежний спрямований.

Відзначимо, що вектор, довжина якого дорівнює 1, називається одиничним (або ортом).

Користуючись операцією множення вектора на число, будь-який вектор можна виразити через одиничний вектор того ж напрямку. Дійсно, поділивши вектор

на його довжину(Тобто помножившина), Отримаємо одиничний вектор того ж напрямку, що і вектор. Його будемо позначати. Звідси слідує що.

ОпределеніеСуммой двох векторів

іназивається вектор, який виходить з їх загального початку і є діагоналлю паралелограма, сторони якого векториі (Рис. 2.4).

.

За визначенням рівних векторів

тому-правило трикутника. Правило трикутника можна поширити на будь-яку кількість векторів і таким чином отримати правило багатокутника: - це вектор, який з'єднує початок першого вектораз кінцем останнього вектора(Рис. 2.5).

Отже, для того щоб побудувати вектор суми, треба до кінця першого вектора прилаштувати початок другого, до кінця другого прилаштувати початок третього і так далі. Тоді вектором суми і буде вектор, який з'єднує початок першого з векторів з кінцем останнього.

При додаванні векторів складаються і їх відповідні координати

Дійсно, якщо і,

якщо вектори

іНЕ компланарність, то їх сума є діагоналлюпаралелепіпеда, побудованого на цих векторах (рис. 2.6)

,