Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами,

Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння (ЛНДУ) другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд, де p і q - довільні дійсні числа, а функція f (x) - неперервна на інтервалі інтегрування X.

Сформулюємо теорему, яка показує в якому вигляді шукати спільне рішення ЛНДУ.

Загальне рішення на інтервалі X лінійного неоднорідного диференціального рівняння з безперервними на інтервалі інтегрування X коефіцієнтами і безперервною функцією f (x) дорівнює сумі загального рішення відповідного ЛОДР і якогось приватного рішення вихідного неоднорідного рівняння, тобто,.

Таким чином, загальним рішенням лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами є сума загального рішення відповідного ЛОДР другого порядку з постійними коефіцієнтами і приватного рішення вихідного ЛНДУ:. Знаходження описано в статті лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами і нам залишилося навчитися визначати.

Існує кілька методів знаходження приватного рішення ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами. Методи вибираються в залежності від виду функції f (x). що стоїть в правій частині рівняння. Перерахуємо їх і розберемо рішення відповідних лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Якщо f (x) є многочленом n-го ступеня f (x) = Pn (x). то приватне рішення ЛНДУ шукається у вигляді, де Qn (x) - многочлен ступеня n. а r - кількість коренів характеристичного рівняння, рівних нулю. Так як - приватне рішення рівняння, то коефіцієнти, що визначають многочлен Qn (x). знаходяться методом невизначених коефіцієнтів з рівності.

Вирішіть задачу Коші,.

Іншими словами, нам потрібно знайти приватне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами, що задовольняє початковим умовам.

Ми знаємо, що спільне рішення лінійного неоднорідного рівняння є сумою загального рішення відповідного однорідного рівняння і будь-якого приватного рішення неоднорідного рівняння, тобто,.

Спочатку знайдемо спільне рішення ЛНДУ, далі займемося приватним рішенням.

Знайдемо. Для цього записуємо характеристичне рівняння і знаходимо його коріння.

Коріння дійсні і різні, тому,.

Переходимо до. Так як права частина вихідного рівняння є многочлен другого ступеня і один корінь характеристичного рівняння дорівнює нулю, то приватне рішення шукаємо у вигляді, де А. В і С - невизначені коефіцієнти. Ці коефіцієнти визначимо з рівності.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових показниках ступеня x. приходимо до системи лінійних рівнянь. Вирішуючи її будь-яким способом (при необхідності звертайтеся до статті рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь), отримуємо шукані невизначені коефіцієнти. Отже, і.

Це є загальне рішення вихідного лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Залишилося знайти приватне рішення, яке задовольняє початковим умовам. Тобто, потрібно визначити такі C1 і C2 в рівність, щоб виконувалися умови.

З іншого боку .

Таким чином, отримуємо систему рівнянь. Звідки.

Отже, рішенням задачі Коші є функція

Якщо функція f (x) представлена ​​твором многочлена ступеня n і експоненти, то приватне рішення ЛНДУ другого порядку шукається у вигляді, де Qn (x) - многочлен n-го ступеня, r - число коренів характеристичного рівняння, рівних. Коефіцієнти многочлена Qn (x) визначаються з рівності.