Лекція №3-механіка

Тема: «Внутрішні зусилля в поперечних перетинах стрижня»

1. Опори і опорні реакції, і їх визначення

2. Поперечна сила і згинальний момент

3.Взаімосвязь між изгибающим моментом, поперечною силою і інтенсивністю розподіленого навантаження

1.Опори і опорні реакції, і їх визначення

При розрахунку конструкцій в основному зустрічаються елементи, які відчувають вигин. Стрижні, які працюють переважно на вигин, називають балками. Для того щоб балка могла відчувати навантаження і передавати її на підставу, вона повинна бути з'єднана з ним опорними зв'язками. На практиці застосовують кілька типів опорних зв'язків, або, як кажуть, кілька типів опор.

Розрізняють три основних типи опор:

а) шарнірно-рухома опора:

б) шарнірно-нерухома опора:

в) жорстке закладення.

На рис. 1 показана шарнірно-рухома опора, така опора дозволяє балці вільно повертатися і переміщатися в горизонтальному напрямку. Тому реакція в опорі буде одна  вертикальна сила. Умовне позначення такої опори показано праворуч.

На рис. 2 показана шарнірно-нерухома опора. Така опора дозволяє балці вільно повертатися, але переміщатися вона не може. Тому можуть виникати дві реакції - вертикальна і горизонтальна сили. Їх можна скласти і отримати одну результатірующего силу, але потрібно знати кут, під яким oна буде спрямована. Зручніше буде користуватися вертикальною та горизонтальною складовими реакції.

На рис. 3 показана жорстке закладення. Вона не дозволяє балці ні повертатися, ні переміщатися. Тому можуть виникати три опорні реакції: момент, вертикальна і горизонтальна сили. Якщо балка не має на кінці опори, то ця частина її називається консоллю.

Визначимо реакції опор для балки (див. Рис. 4).

В опорі А горизонтальна реакція дорівнює нулю, так як розподілене навантаження q і зосереджена сила F мають вертикальний напрямок. реакції опор

направимо вгору. Складемо два рівняння статичної рівноваги сил. Сума моментів щодо кожної з опор дорівнює нулю. Рівняння моментів потрібно складати стосовно опор, так як в цьому випадку виходять рівняння з одним невідомим. Якщо скласти рівняння щодо точок В і С, то отримаємо рівняння з двома невідомими, а їх вирішувати складніше. Моменти проти годинникової стрілки будемо вважати позитивними, за годинниковою  негативними.

де

 момент від рівномірно розподіленого навантаження.

Твір q на відстань, на якому вона прикладена, з умови рівноваги системи одно зосередженої сили, прикладеної посередині відрізка. Тому момент

дорівнює:

Зовнішній момент m на плечі не множиться, так як це пара сил, тобто дві рівні за величиною, протилежно спрямовані сили, які мають постійне плече.

.

Перевірка: Сума всіх сил на вертикальну вісь Y повинна бути дорівнює нулю:

.

Момент m в умова статичної рівноваги

не записував, так як момент  це дві рівні за величиною, протилежно спрямовані сили та в проекції на будь-яку вісь вони дадуть нуль.

Реакції визначені правильно.

2. Поперечна сила і згинальний момент

Нехай на балку діють сили

, реакції опор. Визначимо внутрішні зусилля в перерізі, розташованому на відстані від нульового кінця (див. Рис.5).

Оскільки всі зовнішні сили діють вертикально, то горизонтальної складової у реакції опори А не буде. Балка НЕ ​​буде стискатися або розтягуватися, тобто поздовжня сила в поперечних перетинах дорівнює нулю. Можна було взяти приклад, коли сили

були б не вертикальними по напрямку. Тоді б у опорі А була б і друга реакція  горизонтальна сила, а в перетинах балки  поздовжня сила N. В цьому випадку балка відчувала б вигин з розтяганням (стисканням), т.e. був би випадок складного опору. Його ми будемо вивчати пізніше. Спочатку розглядають більш прості завдання і йдуть до більш складним, а не навпаки.

Оскільки зовнішні сили

лежать в одній площині, що проходить через вісь бруса, то можливе виникнення тpex внутрішніх зусиль: згинальний момент М. поперечної сили Q і поздовжньої сили N. яка, як ми відзначали, дорівнює нулю. Значення М і Q визначимо з рівняння статичної рівноваги лівої частини балки:

.

Висновок: поперечна сила в перерізі чисельно равнаалгебраіческой сумі всіх зовнішніх сил, а згинальний моментсумме всіх моментів, обчислених щодо перетину іпріложенних до даної частини балки.

Для поперечних сил і згинальних моментів прийняті обов'язкові правила знаків (див. Рис. 6).

Якщо сила намагається повернути дану частину балки за годинниковою стрілкою, то вона викликає позитивну поперечну силу, і, навпаки, якщо діє проти годинникової стрілки  то поперечна сила негативна. На рис. 5 сила

викликає позитивне Q, а  негативне. Слід зазначити, що напрямок сили позитивне для лівої частини буде негативним для правої частини. Це викликано тим, що внутрішні сили, що діють на праву і ліву частину балки обов'язково повинні бути рівні і протилежно спрямовані.

Якщо зовнішня сила або зовнішній момент згинають балку опуклістю вниз, то виникає згинальний момент позитивний і, навпаки, опуклістю вгору  негативний.

3. Взаємозв'язок між изгибающим моментом,

поперечною силою і інтенсивністю розподіленого навантаження

Нехай на консольну балку (див. Рис. 7) діє розподілене навантаження, що змінюється по довжині балки. На відстані z від лівого кінця візьмемо нескінченно малий відрізок dz.

Тоді розподілене навантаження на ньому можна розглядати як постійну. У лівій частині розглянутого відрізка будуть внутрішні зусилля Q і М. у правій  з урахуванням збільшення внутрішніх зусиль Q + dQ і M + dM.

Складемо рівняння статичної рівноваги для відрізка балки:

Третім членом можна знехтувати, як нескінченно малою величиною вищого порядку, тобто .:

Після перетворень отримаємо:

тобто перша похідна від згинального моменту по абсциссе (довжині балки) є поперечна сила.

Якщо в формулу (1) підставити значення Q з формули (2), то отримаємо:

тобто друга похідна від згинального моменту є інтенсивність розподіленого навантаження.