Lecture 4

У початковий момент часу Ромео і Джульєтта знаходилися в місті A, що відповідає точці $ (0,0) $ на зображенні. У кінцевий момент часу вони виявилися в місті B, що відповідає точці $ (1,1) $ на зображенні. Таким чином, якщо дивитися на траєкторії, вони «пройшли» з лівого нижнього кута в правий верхній. Навпаки, вози в фазовому просторі рухалися з лівого верхнього кута в правий нижній. На зображенні червоним зображено руху возів, зеленим - рух людей. Очевидно, що траєкторія може бути не тільки графіком функції, але і довільної кривої. Тепер зауважимо, що дві криві, що з'єднують протилежні кути квадрата, в результаті перетнуться. (Суворе доказ цього твердження нетривіально, але інтуїтивно воно не викликало сумнівів.) Це означає, що як мінімум в одному місці фазового простору одночасно буде виконано умови, що відстань між возами не більше п'яти (люди тримаються за мотузочку), але і не менш шести (сума радіусів возів). Протиріччя.

Приклад 2. У моделі Солоу розглядалося одномірне фазовий простір - єдиної змінної була капиталовооруженность $ k $, споживання вважалося постійним. У більш складної моделі Рамсея враховується, що споживання $ c $ може змінюватися з часом, і воно вступає в гру як одна з невідомих функцій. Фазовий простір стає двовимірними, фазовими змінними є капиталовооруженность $ k $ і споживання $ c $.

Приклад 3. Коли ми обговорювали зростання популяції (мальтузіанського модель), наш простір було одновимірним: нас цікавив тільки розмір популяції в даний момент часу. Якби ми розглянули більш складну модель, що включає, наприклад, взаємодіючі популяції двох різних видів, нам треба було б два числа для опису стану системи - кількість особин одного виду і іншого виду.

Розглянемо, скажімо, найпростішу модель взаємодії двох видів, один з яких є хижаком, а інший - жертвою - наприклад, взаємодія кроликів і лисиць, або щук і карасів.

Нехай $ x $ - число лисиць, $ y $ - число кроликів. Якщо жодної лисиці немає, швидкість зростання числа кроликів пропорційна числу самих кроликів (як в мальтузіанской моделі - якась частина популяції відтворюється за одиницю часу). Навпаки, якщо немає кроликів, то лисиці вимирають від голоду - за одиницю часу якась частка популяції гине. Кожна зустріч лисиці з кроликом (які відбуваються з частотою, пропорційною добутку $ xy $) вносить позитивний внесок в дінміку лисиць і негативний - в динаміку кроликів. Запишемо диференціальне рівняння (систему з двох рівнянь):

$$ \ begin \ dot y = ky- \ lambda \ cdot xy \\ \ dot x = - \ beta x + \ gamma \ cdot xy, \ end $$ де $ k $, $ \ lambda $, $ \ beta $ , $ \ gamma $ - деякі позитивні параметри.

Відступ 2. Трошки про кривих

Криві на площині можна задавати трьома різними способами:

У вигляді графіків функцій $ y = f (x) $ або $ x = g (y) $, наприклад $ y = \ sqrt $.
В параметричному вигляді $ x = x (t), \ y = y (t) $. Наприклад, $ x (t) = \ cos t, \ y (t) = \ sin t $.
У неявному вигляді $ F (x, y) = 0 $, наприклад $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $

Репараметрізація: В параметричному вигляді криві можна задавати за допомогою різних параметризацій. Наприклад, $ x = t, \ y = t $; $ X = 3t, \ y = 3t $; $ X = t ^ 3 + t, \ y = t ^ 3 + t $ - три різні параметризації однієї і тієї ж кривої (який?). Однак, як вектор-функції вони різні.

Репараметрізація відповідає заміні незалежної змінної. Якщо гладка вектор-функція $ f \ colon [a, b] \ to \ mathbb R ^ n $ задає деяку криву, і функція $ h \ colon [c, d] \ to [a, b] $ також гладка, причому її похідна не звертається до нуль і $ h (c) = a $, $ h (d) = b $, то складна функція $ f \ circ h $ (тобто $ \ tilde f (s) = f (h (s) ) $) задає ту ж криву при $ s \ in [c, d] $.

Якщо уявити собі, що на кожній точці кривої написано значення параметра, при якому ми проходимо цю точку, то репараметрізація - просто зміна «номерів» точок кривої.

Нагадаємо, що дотичні для $ n $ -мірних вектор функцій - це вектор-функція, складена з похідних кожної координати. Якщо $ f (t) = (f_1 (t), \ dots, f_n (t)) $, то $ \ dot f (t) = (\ dot f_1 (t), \ dot f_2 (t), \ dots, \ dot f_n (t)) $

Затвердження 1: Вектор похідною $ f $ в точці $ t_0 $ стосується кривої в цій точці.

Затвердження 2: При репараметрізаціі вектор похідною множаться на число, але не змінює напрямку. Це випливає з теореми про похідну складної функції:

$$ \ frac df (h (s)) = \ frac \ cdot \ frac = \ dot f \ frac $$ При цьому $ f $ - це вектор, $ \ frac $ - число (причому ми зажадали, щоб воно було ненульовим ).

Неформально, можна сказати, що репараметрізація кривої відповідає зміні швидкості, з якою ми цю криву обходимо.

Системи диференціальних рівнянь

Розглянемо систему з двох диференціальних рівнянь: $$ \ begin \ dot x = f (x, y, t) \\ \ dot y = g (x, y, t) \ end $$

Цю систему можна представити як одне диференціальне рівняння на одну вектор-функцію $ X (t) = (x (t), y (t)) $: $$ \ dot X = F (X, t), $$

Надалі ми не будемо розрізняти поняття «система диференціальних рівнянь» і «диференціальне рівняння з багатовимірним фазовим простором».

Теорема існування та єдиності розв'язку задачі Коші

де функція $ f (x, t) $ неперервно диференційовна ($ C ^ 1 $ гладкий, тобто диференційована і всі приватні похідні неперервні) в околиці точки $ (t_0, x_0) $ розширеного фазового простору.

Тоді знайдеться така околиця $ U = U_ \ delta (t_0) $, що на $ U $ існує рішення $ x = \ varphi (t) $ рівняння (*), що задовольняє умові $ \ varphi (t_0) = x_0 $, і при це будь-яке інше рішення рівняння (*), задовольняє цій же умові, збігається з $ \ varphi (t) $ на деякому околі точки $ t_0 $.

Доказ для бажаючих буде в доп. листочках.

Автономні системи диференціальних рівнянь

Якщо права частина не залежить від $ t $ явно, система з двох диференціальних рівнянь стає автономною і набуває вигляду:

Для автономних систем змістовними стають картинки на фазової площині:

Определеніе.Траекторіей (або фазової кривої) системи (2) називається крива, параметрически задати як $ (x, y) = (x (t), y (t)) $, де $ (x (t), y (t) ) $ - деякий розв'язок системи (2).

Зауваження. З теореми існування і єдиності рішення диференціального рівняння слід, що для будь-якої точки визначена локально єдина фазова крива, яка через неї проходить. Це випливає з того факту, що безліч інтегральних кривих інваріантної щодо зрушень часу.

Определеніе.Векторним полем. заданим системою (2), називається наступний об'єкт: в кожній точці $ (x_0, y_0) $ фазового простору намальований вектор, що виходить з точки $ (x_0, y_0) $ і має координати $ (f (x_0, y_0), g (x_0 , y_0)) $.

Зауваження. Фазові криві системи стосуються векторів відповідного векторного поля. Це миттєво випливає з твердження 1.

Зв'язок між автономними і неавтономними рівняннями

Обговорювалося на семінарі

Теорема. Розглянемо систему

Для будь-якої точки $ P = (x_0, y_0) $, такий, що $ f (x_0, y_0) ≠ 0 $, фазова крива системи (3), що проходить через $ P $, збігається з інтегральної кривої для рівняння

Доведення. Кожен вектор векторного поля для (3) лежить на прямих, що належать полю напрямків для (4). Фазова крива стосується цих векторів, і, отже, цих прямих. По теоремі існування і єдиності, єдина крива, що стосується цих прямих в кожній своїй точці - це інтегральна крива (4). Доказ завершено.

(Строго кажучи, ми довели тільки той факт, що фазова крива (3) є інтегральною кривою (4). Зворотний факт зводиться до твердження, що задану криву можна параметризрвані таким чином, щоб вектор швидкості в кожен момент часу мав задану довжину. Це твердження еквівалентно твердженням про можливість розв'язання автономного диференціального рівняння на прямий, але ми опустимо деталі.)

Прямі твори рівнянь

Визначення. Автономна система диференціальних рівнянь

називається прямим твором рівнянь $ \ dot x = f (x) $ і $ \ dot y = g (y) $. У нашій системі параметри $ x $ і $ y $ не взаємодіють, кожен підпорядковується своєму диференціальних рівнянь.