квиток 24

Одинична функція Хевісайда

Функція Хевісайда (одинична ступінчаста функція, функція одиничного стрибка, включена одиниця) - кусочно-постійна функція, рівна нулю для негативних значень аргументу і одиниці - для позитивних. У нулі ця функція не визначена, однак її зазвичай доопределяют в цій точці деяким числом, щоб область визначення функції містила всі точки дійсної осі. Найчастіше неважливо, яке значення функція приймає в нулі, тому можуть використовуватися різні визначення функції Хевісайда, зручні з тих чи інших міркувань, наприклад:

Інша поширена визначення:

Функція Хевісайда широко використовується в математичному апараті теорії управління і теорії обробки сигналів для подання сигналів, які переходять в певний момент часу з одного стану в інший. У математичній статистиці користуєтеся цією функцією для запису емпіричної функції розподілу.

Функція Хевісайда є первісною функцією для дельта-функції Дірака, H '= δ, це також можна записати як:

δ-функція (ілідельта-функція, δ-функція Дірака, діраковской дельта, одинична імпульсна функція) дозволяє записати просторову щільність фізичної величини (маса, заряд, інтенсивність джерела тепла, сила і т. п.), зосередженої або доданої в одній точці.

Наприклад, щільність одиничної точкової маси, що знаходиться в точці a евклідового простору, записується з помощьюδ-функції у вигляді δ (x - a). Також може бути застосована для опису розподілів заряду, маси і т. П. На поверхнях або лініях.

δ-функція є узагальнена функція, це означає, що формально вона визначається як безперервний лінійний функціонал на просторі диференційовних функцій.

δ-функція не є функцією в класичному сенсі, проте неважко вказати послідовності звичайних класичних функцій, слабо сходяться до δ-функції.

Можна розрізняти одновимірну і багатовимірні дельта-функції, однак останні можуть бути представлені у вигляді добутку одновимірних в кількості, що дорівнює розмірності простору, на якому визначена багатовимірна.

Інтеграл від дельта-функції з будь-якого інтервалу, який містить в собі нуль, тобто інтервалу виду, гдеa1 і a2 - довільні дійсні позитивні числа, дорівнює 1.

, де xk - прості нулі функції f (x).

Первісної одновимірної дельта-функції є функція Хевісайда:

Фільтруюче властивість дельта-функції:

2.Фільтрверхніх частот (ФВЧ) - електронний або будь-який інший фільтр, що пропускає високі частоти вхідного сигналу, при цьому придушуючи частоти сигналу менше, ніж частота зрізу. Ступінь придушення залежить від конкретного типу фільтра. Пасивний фільтр - електронний фільтр, що складається тільки з пасивних компонентів, таких як, наприклад, конденсатори і резистори. Пасивні фільтри не вимагають ніякого джерела енергії для свого функціонування. На відміну від активних фільтрів в пасивних фільтрах не відбувається посилення сигналу по потужності. Практично завжди пасивні фільтри є лінійними.

найпростіший електронний фільтр верхніх частот складається з послідовно з'єднаних конденсатора і резистора. Конденсатор пропускає лише змінний струм, а вихідна напруга знімається з резистора. Твір опору на ємність (R × C) є постійною часу для такого фільтра, яка обернено пропорційна частоті зрізу в герцах.

Перетворити характеристику ФНЧ в характеристику ФВЧ можна за допомогою заміни змінної: гдеn - гранична частота смуги пропускання ФНЧ і

Перетворення схем пассівнихLC-фільтрів. Заміна змінних (2.31) і (2.32) в вираженні для квадрата АЧХ | Hp (j) | 2 фільтра нижніх частот призводить при реалізації цієї функції до перетворення схеми ФНЧ в схеми ФВЧ і ПФ. Індуктивний опір ФНЧ jн.ч Lн.ч переходить при перетворенні частот (17.31) в опір: т. Е. В ємнісний опір ФВЧ, гдеCв.ч = 1 / п 2 Lн.ч.

Ємнісна провідність: переходить в індуктивну провідність фільтра ВЧ з індуктівностьюLв.ч = 1 / п 2 Cн.ч.

Перетворення передавальних функцій активних RC-фільтрів. В активних RC-фільтрах для того, щоб перейти від передавальної функції ФНЧ-прототипу до передавальних функцій ФВЧ і ПФ, слід здійснити заміну комплексної змінної р. З (17.31) одержуємо для ФВЧ

або (17.34) гден.ч = н.ч / п і В.Ч = В.Ч / п.

(Або як писали на факультатив)