Кватерніони - це

Вектор-скаляр

Кватерніон є пару де - вектор тривимірного простору, а - скаляр, тобто дійсне число. Операції додавання визначені в такий спосіб:

Твір має бути дистрибутивно і

де позначає скалярний твір. а - векторне твір. Антикоммутативність векторного твори в останньому визначенні тягне некомутативними твори кватернионов.

матричні визначення

Через комплексні матриці

Альтернативно, кватерніони можна визначити як комплексні матриці такого вигляду зі звичайними матричними твором і сумою:

тут і позначають комплексно-сполучені числа до і.

Таке уявлення має кілька чудових властивостей:

• комплексному числу відповідає діагональна матриця;
• сполучених кватерніонів відповідає сполучена транспонована матриця:;
• квадрат модуля кватерниона дорівнює визначнику відповідної матриці:.

Через речові матриці

Кватерніони також можна визначити як речові матриці такого вигляду зі звичайними матричними твором і сумою:

При такому записі:

• сполучених кватерніонів відповідає транспонована матриця:;
• четверта ступінь модуля кватерниона дорівнює визначнику відповідної матриці:.

Стандартне визначення

Кватерніони можна визначити як формальну суму де - дійсні числа, а - уявні одиниці з наступним властивістю: i 2 = j 2 = k 2 = ijk = - 1. Таким чином, таблиця множення базисних кватернионов - - виглядає так: