координати вектора

Для вирішення завдань з векторами необхідно визначити вектор на площині або в просторі, тобто дати інформацію про його направлення і довжині.

координати вектора

Нехай задана прямокутна декартова система координат (ПДСК) і довільний вектор, початок якого збігається з початком системи координат (рис. 1).

Координатами вектора називаються проекції і даного вектора на осі і відповідно:

Величина називається абсцисою вектора, а число - його ординатою. Те, що вектор має координати і, записується таким чином:.

Запис означає, що вектор має наступні координати: абсциса дорівнює 5, ордината дорівнює -2.

Сума двох векторів, заданих координатами

Нехай задані і, тоді вектор має координати (рис. 2).

Щоб знайти суму двох векторів. заданих своїми координатами, треба скласти їх відповідні координати.

Завдання. Задані і. Знайти координати вектора

Множення вектора на число

Якщо заданий, то тоді вектор має координати, тут - деяке число (рис. 3).

Щоб помножити вектор на число. треба кожну координату цього вектора помножити на задане число.

Завдання. Вектор. Знайти координати вектора

Розглянемо далі випадок, коли початок вектора не збігається з початком системи координат. Припустимо, що в ПДСК задані дві точки і. Тоді координати вектора знаходяться за формулами (рис. 4):

Щоб знайти координати вектора. заданого координатами початку і кінця, треба від координат кінця відняти відповідні координати початку.

Завдання. Знайти координати вектора, якщо

направляючі косинуси

Напрямними косинусами вектора називаються косинуси кутів, утворених вектором з позитивними напрямками осей координат.

Напрямок вектора однозначно задається напрямними косинусами. Для одиничного вектора направляючі косинуси дорівнюють його координатами.

Якщо в просторі заданий вектор, то його направляють косинуси обчислюються за формулами:

Тут, і - кути, які становить вектор з позитивними напрямками осей, і відповідно.

Основна властивість напрямних косинусів

Сума квадратів напрямних косинусів дорівнює одиниці.

Якщо відомі напрямні косинуси вектора, то його координати можуть бути знайдені за формулами:

Аналогічні формули мають місце і в тривимірному випадку - якщо відомі напрямні косинуси вектора, то його координати можуть бути знайдені за формулами: