Комплексні числа і їх зображення на площині

Комплексні числа виникли в зв'язку з завданням рішення квадратних рівнянь. Залишаючись в множині дійсних чисел, неможливо вирішити квадратне рівняння, дискримінант якого менше нуля.

Комплексні числа необхідні в різних додатках математики. Зокрема, теорія функцій комплексної змінної є дієвим інструментом при використанні математичних методів в різних областях науки.

Комплексним числом називається вираз виду де-дійсний числа, -мнімая одиниця.

Отже, комплексним числом називається всяка впорядкована пара дійсних чисел і дійсне число називають абсцисою комплексного числа дійсне число його ординатою

Будь-яке комплексне число можна зобразити на площині у вигляді точки Площина, на якій зображуються комплексні числа, називається площиною комплексного змінного

Площина комплексної змінної

Дійсні числа зображуються точками осі абсцис, уявні числа зображуються точками осі ординат. Тому вісь називають дійсною віссю, а вісь ординат уявної віссю.

Поєднавши точку з початком координат, отримаємо вектор В деяких випадках зручно вважати геометричним зображенням комплексного числа вектор При цьому дійсна і уявна частини числа є проекціями вектора на дійсну і уявну осі.

Позначимо через і полярні координати точки вважаючи початок координат полюсом, а позитивний напрямок осі полярною віссю.

Геометричне зображення комплексного числа

Тоді мають місце такі рівності

Отже, комплексне число можна представити у вигляді

- це є тригонометрическая форма запису комплексного числа називається модулем комплексного числа аргументом комплексного числа