Комплексні числа 1

.

Як бачимо, "дивні" коріння успішно скорочуються. Тобто ми вирішили звичайне рівняння і знайшли корінь - звичайне дійсне (і навіть натуральне) число. Але для цього в проміжних викладках нам довелося оперувати "незвичайними" числами. І найголовніше - ніяким іншим способом, за винятком хіба що вгадування, це рішення отримати не вдається!

Тепер у нас є три шляхи:

- беззастережно дотримуватися встановлених заборон і відмовитися від нових придбань, тобто вважати, що ніякого способу розв'язання неприводимого випадку кубічного рівняння у нас немає;

- "Заховати голову в пісок", тобто кожен раз, вирішуючи рівняння, при переході до дії з виразами виду

говорити "Вибачте!", а повертаючись "на законну грунт", робити вигляд, що нічого не сталося;

- якщо допустили в проміжні вкладки об'єкти нової природи, всерйоз зайнятися їх вивченням: дати визначення, досліджувати властивості, навчитися виконувати арифметичні операції.

Хоча і не відразу, але в кінцевому підсумку математеке вибрали третій шлях. І були винагороджені: "дивні" коріння знайшли широке застосування в електротехніці, аеродинаміці та інших областях знань.

Отже, крім звичних дійсних (буквально - "реально існуючих") чисел нам доводиться розглядати ще числа виду

, де А - позитивне дійсне число. Що за числа, як їх "помацати руками" - все це не надто багато відповіді. Ми просто домовлятися вважати, що вони є. І цілком природно, що такі числа були названі уявними, тобто "Нереальними". Сама ідея комплексного числа виникла у італійських математиків XVI в. в процесі вирішення рівнянь 3-й і 4-го ступенів.

Але дещо про уявні числах ма все ж знаємо. Наприклад, що при зведенні в квадрат вони дають негативні числа. Далі, оскільки

=

- це звичайне дійсне число. Значить, уявне число можна отримати виходячи з єдиного мнимого числа

, якщо помножити його на відповідне дійсне число. Таким чином, замість безмежного океану таємничих об'єктів ми маємо один-єдиний незвичний об'єкт, все ж решта будуються за допомогою операції множення. Погодьтеся, з такою ситуацією приклад вже набагато легше.

, грає роль "будівельного блоку" в світі уявних чисел, називають уявною одиницею і за пропозицією Леонардо Ейлера позначають i (від лат. imaginarius - "уявний"), але формальні операції над комплексними числами ввів Бомбелли. Основна властивість уявної одиниці виражається простим рівнянням:

.

Однак, як підказує досвід вирішення кубічних рівнянь, крім дійсних і уявних нам доводиться розглядати також числа виду А +

, які представляють собою суму дійсного. Такі числа називаються комплексними, тобто складовими.

А тепер, підсумовуючи все сказане, сформулюємо нарешті визначення комплексного числа: комплексним числом називається вираз виду a + bi, де a і b - дійсні числа, а i - уявна одиниця.

Список використаної літератури

В. Антонов. Енциклопедія для дітей. Том 11. Математика -