Кінетичної енергією механічної системи називається енергія механічного руху цієї системи

Зміна механічного руху системи відбувається тільки під дією прикладеної до неї сили. Тому для відшукання виду функції кінетичної енергії скористаємося другим законом Ньютона.

Розглянемо найпростішу систему, що складається з однієї частки (матеріальної точки). Рівняння руху матеріальної точки помножимо на переміщення отримуємо

Тут - збільшення швидкості частинки за час. Ліву частину виразу (4.1) приведемо до вигляду:

Якщо система замкнута, то. і. а сама величина

залишається постійною. Ця величина і називається кінетичної енергією. У разі ізольованої частинки кінетична енергія зберігається і є інтегралом руху.

Помноживши на масу частинки чисельник і знаменник виразу (4.3) і скориставшись визначенням імпульсу, отримуємо:

Кінетична енергія механічної системи, що складається з частинок, дорівнює сумі кінетичних енергій окремих частинок:

Якщо на частку діє сила. кінетична енергія не залишається постійною. Згідно (4.2), приріст кінетичної енергії частинки за час в цьому випадку дорівнює скалярному добутку - переміщення частинки за час). Величина називається роботою, яку здійснюють силою на шляху. де - модуль переміщення.

Проинтегрировав вираз (4.2) уздовж траєкторії від точки 1 до точки 2, отримуємо:

є робота сили на шляху. Таким чином, робота результуючої всіх сил, що діють на частинку, йде на приріст кінетичної енергії цієї частинки:

Формула (4.3) для кінетичної енергії частинки справедлива як в інерціальній, так і в неінерціальної системи відліку. При переході з однієї системи відліку в іншу, що рухається щодо першої з деякою швидкістю. швидкість частинки змінюється, отже, змінюється і кінетична енергія.

Розглянемо дві системи відліку: інерційну і систему відліку. рухається щодо поступально зі швидкістю. Швидкість може бути як постійною (тоді система інерціальна), так і залежною від часу (в цьому випадку система неінерційній). З малюнка 4.1 видно, що радіус-вектори тої матеріальної точки в системах відліку і пов'язані співвідношенням:

де - радіус-вектор в системі точки (початку відліку координат в системі). Продифференцировав цей вислів по часу, отримуємо для швидкостей:

Зведемо цю рівність у квадрат:.

Підставами значення в формулу кінетичної енергії механічної системи, отримуємо кінетичну енергію щодо системи:

або. Тут - маса всієї системи, - імпульс механічної системи в. - кінетична енергія системи в.

Очевидно,. де - швидкість центру мас системи в. Тому, якщо в якості взяти систему центру мас механічної системи, то і

Це теорема Кеніга: кінетична енергія механічної системи дорівнює сумі кінетичної енергії тієї ж системи в її русі відносно центру мас і кінетичної енергії, яку мала б розглянута система, рухаючись поступально зі швидкістю центру мас.

Вираз (4.4) можна представити у вигляді: де - кут між напрямками сили і переміщення. Якщо цей кут гострий (), робота позитивна, якщо - тупий (), робота негативна. При робота дорівнює нулю.

На рис.4.2 представлений графік проекції сили на напрямок переміщення як функції положення частинки на траєкторії. З малюнка видно, що елементарна робота чисельно дорівнює площі заштрихованої смужки, а робота на шляху 1-2 чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої кривою. вертикальними прямими 1 і 2 і віссю S.

Нехай на тіло діє одночасно кілька сил. З дистрибутивности скалярного твори векторів випливає, що робота. чинена результуючої силою на шляху. може бути представлена у вигляді:

- робота результуючої декількох сил дорівнює алгебраїчній сумі робіт, що здійснюються кожною силою окремо.

Очевидно, елементарне переміщення. тому вираз для елементарної роботи (4.4) набуває вигляду:

Тоді робота, що здійснюються за проміжок часу від до. буде дорівнює

Робота, що здійснюється в одиницю часу, називається потужністю:.

Проинтегрировав вираз (4.2) уздовж траєкторії від точки 1 до точки 2, отримуємо: Величина