Кінетична енергія і робота при обертальному русі

Розглянемо спочатку тверде тіло, що обертається навколо нерухомої осі OZ з кутовою швидкістю # 969; (Рис.5.6). Розіб'ємо тіло на елементарні маси. Лінійна швидкість елементарної маси дорівнює. де - її відстань від осі обертання. Кінетична енергія i-тої елементарної маси буде дорівнює

Кінетична енергія всього тіла складається з кінетичних енергій його частин, тому

З огляду на те, що сума в правій частині цього співвідношення представляє момент інерції тіла відносно осі обертання, отримаємо остаточно

Формули кінетичної енергії тіла, що обертається (5.30) подібні відповідними формулами для кінетичної енергії поступального руху тіла. Вони виходять з останніх формальної заміною.

У загальному випадку рух твердого тіла можна представити у вигляді суми рухів - поступального зі швидкістю, що дорівнює швидкості центру мас тіла, і обертання з кутовою швидкістю навколо миттєвої осі, що проходить через центр мас. В цьому випадку вираз для кінетичної енергії тіла набуває вигляду

Знайдемо тепер роботу, що здійснюються моментом зовнішніх сил, при обертанні твердого тіла. Елементарна робота зовнішніх сил за час dt буде дорівнює зміні кінетичної енергії тіла

Взявши диференціал від кінетичної енергії обертального руху, знайдемо її приріст

Відповідно до основним рівнянням динаміки для обертального руху

З урахуванням даних співвідношень, наведемо вираз елементарної роботи до виду

де - проекція результуючого моменту зовнішніх сил на напрям осі обертання OZ, - кут повороту тіла за розглянутий проміжок часу.

Інтегруючи (5.31), отримаємо формулу для роботи зовнішніх сил, що діють на тіло, що обертається

У разі якщо . то формула спрощується

Таким чином, робота зовнішніх сил при обертанні твердого тіла відносно нерухомої осі визначається дією проекції моменту цих сил на дану вісь.

Гіроскопом називається швидко обертається симетричне тіло, вісь обертання якого може змінювати свій напрям в просторі. Щоб вісь гіроскопа могла вільно повертатися в просторі, гіроскоп поміщають в так званому кардановом підвісі (ріс.5.13). Маховик гіроскопа обертається у внутрішній кільцевої обоймі навколо осі С1 С2. що проходить через його центр ваги. Внутрішня обойма в свою чергу може обертатися у зовнішній обоймі навколо осі В1 В2. перпендикулярної до С1 С2. Нарешті, зовнішня обойма може вільно обертатися в підшипниках стійки навколо осі А1 А2. перпендикулярної до осей С1 С2 і В1 В2. Всі три осі перетинаються в деякій нерухому точку О, званої центром підвісу або точкою опори гіроскопа. Гіроскоп в кардановом підвісі має три ступені свободи і, отже, може здійснювати будь-які повороти навколо центру підвісу. Якщо центр підвісу гіроскопа збігається з його центром ваги, то результуючий момент сил тяжіння всіх частин гіроскопа відносно центру підвісу дорівнює нулю. Такий гіроскоп називають врівноваженим.

Розглянемо тепер найбільш важливі властивості гіроскопа, які і знайшли йому широке застосування в різних областях.

При будь-яких поворотах стійки врівноваженого гіроскопа його вісь обертання зберігає незмінне напрямок по відношенню до лабораторної системі відліку. Це пов'язано з тим, що момент всіх зовнішніх сил, що дорівнює моменту сил тертя, дуже малий і практично не викликає зміни моменту імпульсу гіроскопа, тобто

Оскільки момент імпульсу спрямований уздовж осі обертання гіроскопа, то її орієнтація повинна зберігатися незмінною.

Якщо зовнішня сила діє протягом короткого часу, то інтеграл, що визначає приріст моменту імпульсу, буде малий

Значить, при короткочасних діях навіть великих сил рух врівноваженого гіроскопа змінюється мало. Гіроскоп як би чинить опір будь-яким спробам змінити величину і напрям його моменту імпульсу. З цим і пов'язана чудова стійкість, яку набуває рух гіроскопа після приведення його в швидке обертання. Це властивість гіроскопа широко використовується для автоматичного управління рухом літаків, суден, ракет і інших апаратів.

Якщо ж діяти на гіроскоп тривалий час постійним у напрямку моментом зовнішніх сил, то вісь гіроскопа встановлюється, врешті-решт, у напрямку моменту зовнішніх сил. Дане явище використовується в гірокомпас. Цей прилад являє собою гіроскоп, вісь якого може вільно повертатися в горизонтальній площині. Внаслідок добового обертання Землі і дії моменту відцентрових сил вісь гіроскопа повертається так, щоб кут між і став мінімальним (ріс.5.14). Це відповідає положенню осі гіроскопа в площині меридіана.

2). Гіроскопічний ефект.

Якщо до обертається гіроскопа докласти пару сил і. яка прагне повернути його близько осі, перпендикулярній осі обертання, то він стане повертатися навколо третьої осі, перпендикулярної до перших двох (ріс.5.15). Таке незвичайне поведінка гіроскопа отримало назву гіроскопічного ефекту. Воно пояснюється тим, що момент пари сил спрямований уздовж осі О1 О1 і зміна за час вектора на величину матиме теж напрямок. В результаті новий вектор повернеться щодо осі О2 О2. Таким чином, протиприродне на перший погляд поведінка гіроскопа повністю відповідає законам динаміки обертального руху

3). Прецессия гіроскопа.

Прецессией гіроскопа називається конусообразное рух його осі. Воно відбувається в тому випадку, коли момент зовнішніх сил, залишаючись постійним за величиною, повертається одночасно з віссю гіроскопа, утворюючи з нею весь час прямої кут. Для демонстрації прецесії може служити велосипедне колесо з нарощеної віссю, наведене в швидке обертання (ріс.5.16).

Якщо колесо підвісити за нарощений кінець осі, то його вісь почне прецессировать навколо вертикальної осі під дією власної ваги. Демонстрацією прецесії може служити і швидко обертається дзига.

З'ясуємо причини прецесії гіроскопа. Розглянемо неврівноважений гіроскоп, вісь якого може вільно повертатися навколо деякої точки О (ріс.5.16). Момент сил тяжкості, прикладений до гіроскопа, дорівнює за величиною

де - маса гіроскопа, - відстань від точки О до цента мас гіроскопа, - кут, утворений віссю гіроскопа з вертикаллю. Вектор спрямований перпендикулярно до вертикальної площини, що проходить через вісь гіроскопа.

Під дією цього моменту момент імпульсу гіроскопа (його початок поміщено в точку О) отримає за час приріст. а вертикальна площина, що проходить через вісь гіроскопа, повернеться на кут. Вектор весь час перпендикулярний до. отже, не змінюючись за величиною, вектор змінюється тільки за напрямком. При цьому через деякий час взаємне розташування векторів і буде таким же, як і в початковий момент. В результаті вісь гіроскопа буде безперервно повертатися навколо вертикалі, описуючи конус. Такий рух називається прецесією.

Визначимо кутову швидкість прецесії. Згідно ріс.5.16 кут повороту площини, що проходить через вісь конуса і вісь гіроскопа, дорівнює

де - момент імпульсу гіроскопа, а - його приріст за час.

Розділивши на. з урахуванням зазначених співвідношень і перетворень, отримаємо кутову швидкість прецесії

Для гіроскопів, що застосовуються в техніці, кутова швидкість прецесії буває в мільйони разів менше швидкості обертання гіроскопа.

У висновку відзначимо, що явище прецесії спостерігається і у атомів внаслідок орбітального руху електронів.

Приклади застосування законів динаміки

При обертальному русі

1. Розглянемо деякі приклади на закон збереження моменту імпульсу, які можна здійснити за допомогою лави Жуковського. У найпростішому випадку лава Жуковського представляє собою платформу в формі диска (крісло), який може вільно обертатися навколо вертикальної осі на кулькових підшипниках (ріс.5.17). Демонстратор сідає або стає на лаву, після чого її приводять в обертовий рух. Внаслідок того, що сили тертя завдяки застосуванню підшипників дуже малі, момент імпульсу системи, що складається з лави і демонстратора, щодо осі обертання не може змінюватися в часі, якщо система надана самій собі. Якщо демонстратор тримає в руках важкі гантелі і розводить руки в сторони, то він збільшить момент інерції системи, а тому повинна зменшиться кутова швидкість обертання, щоб залишився незмінним момент імпульсу.

Згідно із законом збереження моменту імпульсу складемо рівняння для даного випадку

де - момент інерції людини і лави, і - момент інерції гантелей в першому і другому положеннях, і - кутові швидкості системи.

Кутова швидкість обертання системи при розведенні гантелей в сторону буде дорівнює

Роботу, зроблену людиною при переміщенні гантелей, можна визначити через зміну кінетичної енергії системи

2. Наведемо ще один досвід з лавою Жуковського. Демонстратор сідає або стає на лаву і йому передають швидко обертається колесо з вертикально спрямованої віссю (ріс.5.18). Потім демонстратор повертає колесо на 180 0. При цьому зміна моменту імпульсу колеса цілком передається лаві і демонстраторів. В результаті лава разом з демонстратором приходить в обертання з кутовою швидкістю, яка визначається на підставі закону збереження моменту імпульсу.

Момент імпульсу системи в початковому стані визначається тільки моментом імпульсу колеса і дорівнює

де - момент інерції колеса, - кутова швидкість його обертання.

Після повороту колеса на кут 180 0 момент імпульсу системи буде вже визначатися сумою моменту імпульсу лави з людиною і моменту імпульсу колеса. З урахуванням того, що вектор моменту імпульсу колеса змінив свій напрямок на протилежне, а його проекція на вертикальну вісь стала негативною, отримаємо

де - момент інерції системи «людина-платформа», - кутова швидкість обертання лави з людиною.

Згідно із законом збереження моменту імпульсу

У підсумку, знаходимо швидкість обертання лави

3. Тонкий стрижень масою m і довжиною l обертається з кутовою швидкістю # 969; = 10 с -1 в горизонтальній площині навколо вертикальної осі, що проходить через середину стержня. Продовжуючи обертатися в тій же площині, стрижень переміщається так, що вісь обертання тепер проходить через кінець стержня. Знайти кутову швидкість у другому випадку.

У цьому завданню за рахунок того, що розподіл маси стрижня щодо осі обертання змінюється, момент інерції стержня також змінюється. Відповідно до закону збереження моменту імпульсу ізольованої системи, маємо

Тут - момент інерції стержня відносно осі, що проходить через середину стержня; - момент інерції стержня відносно осі, що проходить через його кінець і знайдений по теоремі Штейнера.

Підставляючи дані вирази в закон збереження моменту імпульсу, отримаємо

4. Стрижень довжиною L = 1,5 м і масою m1 = 10 кг підвішений шарнірно за верхній кінець. В середину стрижня вдаряє куля масою m2 = 10 г, що летить горизонтально зі швидкістю = 500 м / с, і застряє в стрижні. На який кут відхилиться стрижень після удару?

Уявімо на рис. 5.19. систему взаємодіючих тіл «стрижень-куля». Моменти зовнішніх сил (сила тяжіння, реакція осі) в момент удару дорівнюють нулю, тому можемо скористатися законом збереження моменту імпульсу

Момент імпульсу системи до удару дорівнює моменту імпульсу кулі відносно точки підвісу

Момент імпульсу системи після непружного удару визначиться за формулою

де - момент інерції стержня відносно точки підвісу, - момент інерції кулі, - кутова швидкість стрижня з кулею безпосередньо після удару.

Вирішуючи після підстановки отримане рівняння, знайдемо

Скористаємося тепер законом збереження механічної енергії. Прирівняємо кінетичну енергію стрижня після попадання в нього кулі його потенційної енергії в найвищій точці підйому:

де - висота підняття центру мас даної системи.

Провівши необхідні перетворення, отримаємо

Кут відхилення стрижня пов'язаний з величиною співвідношенням

Провівши обчислення, отримаємо = 0,1p = 18 0.

5. Визначити прискорення тіл і натягу нитки на машині Атвуда, припускаючи, що (ріс.5.20). Момент інерції блоку щодо осі обертання дорівнює I. радіус блоку r. Масою нитки знехтувати.

Розставимо всі сили, що діють на вантажі і блок, і складемо для них рівняння динаміки

Якщо немає прослизання нитки по блоку, то лінійне і кутове прискорення пов'язані між собою співвідношенням

Вирішуючи ці рівняння, отримаємо

Після чого знаходимо T1 і T2.

6. До шківа хреста Обербека (ріс.5.21) прикріплена нитка, до якої підвішений вантаж масою M = 0,5 кг. Визначити за який час вантаж опускається з висоти h = 1 м до нижнього положення. Радіус шківа r = 3 см. На хресті укріплені чотири вантажу масою m = 250 г кожен на відстані R = 30 см від його осі. Моментом інерції самого хреста і шківа знехтувати в порівнянні з моментом інерції вантажів.

Складемо рівняння динаміки для даної системи:

Кутове прискорення шківа пов'язано з прискоренням вантажу співвідношенням. а момент інерції вантажів хреста Обербека дорівнює.

Підставляючи дані вирази і вирішуючи систему рівнянь щодо прискорення, отримаємо

Час опускання вантажу визначається з рівняння шляху рівноприскореного руху

Обчислення дають t = 4,47с.

7. Для демонстрації законів збереження застосовується маятник Максвелла, що представляє собою масивний диск радіусом R і масою m. туго насаджений на вісь радіусом r. яка підвішується на двох попередньо намотаних на неї нитках (ріс.5.22). Коли маятник відпускають, то він здійснює зворотно-поступальний рух у вертикальній площині при одночасному обертанні диска навколо осі. Не враховуючи сили опору і момент інерції осі, визначити прискорення поступального руху маятника і силу натягу нитки.

Рівняння динаміки для поступального і обертального руху маятника Максвелла мають вигляд

У даній системі рівнянь Т - сила натягу однієї нитки, - момент інерції диска, а - кутове прискорення.

Вирішуючи рівняння, знайдемо:.

Натяг нитки визначимо з першого рівняння

8. Суцільний однорідний диск радіуса R. обертається з кутовою швидкістю. кладуть основою на горизонтальну поверхню. Скільки обертів зробить диск до зупинки, якщо коефіцієнт тертя між підставою диска і горизонтальною поверхнею дорівнює # 956 ;.

Сила тертя прикладена до кожної ділянки диска, і так як ці ділянки знаходяться на різних відстанях від осі, то і моменти сил тертя, прикладені до цих ділянок, різні. Для знаходження результуючого моменту застосуємо метод диференціювання. Розділимо диск на вузькі кільця. Одне таке кільце радіусом r і шириною dr заштриховано на ріс.5.23. Площа такого кільця

а сила тертя, що діє на виділене кільце,

де h - товщина диска, # 961; - щільність матеріалу диска.

Момент цієї сили тертя дорівнює

Інтегруючи по r від нуля до R. отримуємо сумарний момент сил тертя

Робота, досконала силами тертя, визначиться за формулою

де - кут повороту диска, а N - число обертів диска до повної зупинки.

З іншого боку, робота сил тертя дорівнює убутку кінетичної енергії диска, тобто

де - момент інерції диска.

Прирівнюючи отримані вирази для роботи, після перетворення знайдемо

1. Момент сили відносно нерухомої точки - вектор, який дорівнює векторному добутку радіус-вектора, проведеного з точки О в точку прикладання сили, на силу

Момент сили відносно нерухомої осі - скалярна величина, що дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту сили:

Значення не залежить від вибору точки О на осі Z.

2. Момент імпульсу матеріальної точки відносно нерухомої точки О - векторна величина, яка визначається векторним твором радіус-вектора матеріальної точки, проведеної з точки О, на імпульс цій матеріальної точки

Момент імпульсу матеріальної точки, що рухається по колу

3. Момент інерції тіла відносно нерухомої осі - сума творів елементарних мас на квадрати їх відстаней до осі: