Кінематика матеріальної точки

Простір і час

Сам Ньютон наступним чином визначав абсолютні простір і час: "Абсолютна простір в силу своєї природи і безвідносності до будь-якого іншого об'єкту завжди залишається однаковим і нерухомим".

"Абсолютна, істинне і математичне час саме по собі і в силу своєї природи протікає рівномірно і безвідносно до якогось іншого об'єкту. Воно називається також тривалістю ".

Але поряд з абсолютним простором Ньютон допускав також відносне простір і час, які він визначав так:

"Відносне простір є мірилом, або рухомою частиною, першого (абсолютного), яку ми сприймаємо чуттєво, завдяки її положенням щодо інших тіл, і зазвичай вважаємо нерухомим". "Таким чином в звичайних людських відносинах ми користуємося і досить доцільно замість абсолютних положень і рухів відносними; в природознавстві, навпаки, слід відволіктися від чуттєвих даних. Справді, цілком можливо, що в природі немає дійсно покоїться тіла, до якого можна відносити всі положення і руху ".

"Відносне, що здається і звичайний час є чуттєва і зовнішня, іноді дуже точна, іноді непостійна міра тривалості, якої зазвичай користуються замість справжнього, як, наприклад, годину, добу, місяць, рік". "Природні добу, які як мірило часу вважаються всі однаковими, насправді не однакові. Астрономи виправляють цю нерівність, вимірюючи рух небесних тіл істинним часом. Можливо, що не існує зовсім рівномірного руху, за допомогою якого можна було б точно вимірювати час, всі рухи можуть прискорюватися або сповільнюватися, але протягом абсолютного часу не може змінюватися. Одна і та ж тривалість і одна і та ж інерція існують для всіх речей ".

Висловлені в цих цитатах уявлення про простір і час лежать в основі класичної механіки, їх дотримувалися аж до появи досліджень кінця XIX століття. З висловлювань Ньютона видно, що він відділяв абсолютний простір і абсолютний справжнє і математичне час від простору і часу, з якими ми маємо справу на практиці: вимірюючи простір, ми вимірюємо відстань одного тіла від іншого, а вимірюючи час, ми відзначаємо різні положення стрілки на якихось певних матеріальних годиннику. Ньютон, ймовірно, відчував труднощі, пов'язані зі спробами вловити біг істинного, математичного часу і виміряти абсолютний простір. Проте він припускав, що таке абсолютне простір і час все ж існують і залишилися б існувати, якби навіть всі тіла, які можна прийняти за системи відліку, були знищені. Абсолютна простір і час розглядалися Ньютоном як щось, абсолютно не пов'язане з рухом матерії, подібно судині, який можна наповнити рідиною, а можна і залишити порожнім.

Які ж висновки про рух тел дозволяють зробити подання Ньютона про простір і час? Якщо існує абсолютний простір, то для визначення пложения тіла не потрібна матеріальна система відліку. Можна визначити положення тіла в абсолютному просторі в кожен момент часу (мова йде про абсолютне часу) і, отже, знайти рух тіла в абсолютному просторі. Це і буде абсолютна рух тіла, тобто те "справжнє" рух, про який говорилося раніше. Таким чином, з точки зору Ньютона, слід відрізняти безпосередньо спостережувані відносні руху тіл від істинного абсолютного руху в абсолютному просторі.

Математичне формулювання властивостей простору і часу виражається у вигляді системи геометричних понять і зв'язків між ними. Як "будівельного матеріалу" геометрія використовує ідеалізовані образи властивостей матеріальних об'єктів реального світу, такі, як точка, лінія, поверхня, об'єм. За допомогою цих образів створюється геометрична модель реального світу. Формування геометрії як науки було завершено приблизно дві з половиною тисячі років тому Евклидом. Довго здавалося, що питання про співвідношення геометрії з реальним світом навіть не виникає, тому що єдиною мислимій моделлю реального світу була геометрія Евкліда. Надалі було показано, що в принципі існує безліч інших внутрішньо несуперечливих моделей - неевклідових геометрій. Тому питання про те, яка модель, або геометрія, правильно відображає властивості реального світу, може бути вирішене тільки експериментально шляхом порівняння всіх висновків з цієї моделі з тією ситуацією, яка існує в реальному світі.

В даний час вивчені багато фізичних явищ, які дозволяють зробити висновок про межі застосування геометрії Евкліда. Результат можна сформулювати так: Евклідова геометрія досить точно описує геометричні співвідношення реального світу починаючи з відстаней, раз в десять менших, ніж розміри ядер, тобто з відстаней 10 -16 м, до відстаней, близьких до "розмірами Всесвіту", тобто відстаней 10 26 м 10 10 світлових років. Однак на цих відстанях (порядку 10 млрд. Світлових років) повинна почати проявлятися неевклідової простору, якщо справедливі передбачення теорії відносності. Є всі підстави думати, що на відстанях, менших 10 -16 м, геометрія Евкліда продовжує бути справедливою, але невідомо, до як малих відстаней.

Однак твердження про справедливість геометрії Евкліда поблизу поверхні Землі правильно лише з додаванням застереження "з дуже великою точністю". В абсолютному ж сенсі це твердження несправедливо. Загальна теорія відносності стверджує, що при наявності поля тяжіння геометрія не є Евклідовій.

Таким чином, в класичній механіці простір вважається Евклідовому, а час єдиним.

Як уже зазначалося, в механіці під рухом розуміють зміну положення тіла в просторі з плином часу. Причому під положенням тіла розуміється відносне положення, тобто положення щодо інших тіл. Звідси випливає, що якщо ми збираємося вивчати руху будь-якого тіла, то необхідно вказати, по відношенню до яких інших тіл відбувається цей рух.

Рух відбувається як в просторі, так і в часі. Тому для опису руху необхідно визначати час, що робиться за допомогою годинника. Сукупність нерухомих одна відносно іншої тел, по відношенню до яких розглядається рух, і годин, які відлічують час, утворюють просторово-часову систему відліку.

Системи відліку необхідні для опису руху. Тому в системах відліку, як в фізичних тілах, абстрагуються від усього, що пов'язано з їх конкретним будовою і внутрішніми властивостями. Важливо тільки те, як виглядає по відношенню до них простір і як тече час.

Описати рух тіла означає вказати для кожного моменту часу положення тіла в просторі. Для того, щоб задати стан механічної системи, потрібно вказати положення всіх тіл, що утворюють систему, як функцію часу. Типова задача механіки полягає в тому, щоб, знаючи стан системи в певний початковий момент часу і закони, що керують рухом, визначити стану системи в усі наступні моменти часу.

Описом руху тіл, безвідносно до причин його викликали, займається кінематика. У різних системах відліку рух одного і того ж тіла виглядає по-різному. У кінематиці при виборі системи відліку керуються лише міркуваннями доцільності, що визначаються конкретними умовами. Так, при розгляді руху тіл на Землі, зручно зв'язати систему відліку з Землею, при розгляді руху самої Землі систему відліку зручно зв'язати з Сонцем. Ніяких принципових переваг однієї системи відліку в порівнянні з іншого в кінематиці вказати не можна. Всі системи відліку кинематически еквівалентні. Тільки в динаміці, що вивчає рух в зв'язку з причинами, що викликали рух, виявляється принципова перевага певного класу систем відліку, так званих інерційних систем відліку.

Найпростішим об'єктом, рух якого вивчає класична механіка, є матеріальна точка.

Матеріальною точкою називається макроскопічне тіло, розміри якого в розглянутому русі можна не брати до уваги і вважати, що вся речовина тіла зосереджена в одній геометричній точці.

Зрозуміло, в природі матеріальних точок немає. Це абстракція, ідеалізований образ реально існуючих тел. Чи можна прийняти дане тіло за матеріальну точку, залежить не стільки від самого тіла, скільки від характеру руху цього тіла, а також від змісту питань, на які потрібно отримати відповідь. Абсолютні розміри тіла при цьому не мають значення. Важливі відносні розміри, тобто відношення розмірів тіл до деяких відстаней, характерним для даного руху. Наприклад, Землю при розгляді її орбітального руху навколо Сонця можна з великою точністю прийняти за матеріальну точку (радіус орбіти Землі RС = 1,5 × 10 11 м; радіус Землі RЗ = 6,4 × 10 6 м). Така ідеалізація сильно спрощує завдання про орбітальному русі Землі, зберігаючи, однак, всі істотні риси цього руху. Але ця ідеалізація не годиться при розгляді обертання Землі навколо власної осі, оскільки безглуздо говорити про обертанні матеріальної точки навколо власної осі.

Механіка однієї матеріальної точки в класичній механіці є основою для вивчення механіки взагалі. З класичної точки зору довільне макроскопическое тіло або систему тіл можна подумки розбити на малі макроскопічні частини, які взаємодіють між собою. Кожну з цих частин можна прийняти за матеріальну точку. Тим самим вивчення руху довільної системи тел зводиться до вивчення руху системи взаємодіючих матеріальних точок. Природно тому почати вивчення класичної механіки з механіки однієї матеріальної точки, а потім перейти до вивчення системи матеріальних точок.

1. 4. Способи опису руху матеріальної точки.
Швидкість. прискорення

Існує три способи опису руху точки: векторний, координатний і природний. Розглянемо їх послідовно.

У цьому способі положення рухається точки А задають вектором. проведеним з деякої нерухомої точки О обраної системи відліку в точку А. Цей вектор називається радіус-вектором. При русі точки А її радіус-вектор змінюється в загальному випадку як по модулю, так і по напрямку, тобто радіус-вектор є функцією часу. Геометричне місце кінців радіус-вектора називають траєкторією точки А.

Помістимо початок системи відліку в точку О. Позначимо радіус-вектор початкового положення точки А через. а радіус-вектор кінцевого положення через. Якщо за проміжок часу точка А перемістилася з положення 1 в положення 2, то вектор називається вектором переміщення точки. Довжина ділянки траєкторії між точками 1 і 2 називається шляхом або відстанню, пройденим точкою.

Відношення називається середньою швидкістю матеріальної точки за час:

Вектор середньої швидкості збігається за напрямком з вектором переміщення.

Крім середньої швидкості можна ввести поняття миттєвої швидкості, тобто швидкості в кожен момент часу. Миттєва швидкість визначиться наступним чином:

При зменшенні проміжку часу вектор переміщення буде повертатися навколо точки 1 і в межі займе положення дотичної до траєкторії в точці 1. Таким чином, миттєва швидкість дорівнює похідною від радіус-вектора за часом і спрямована по дотичній до траєкторії в даній точці в бік руху. Миттєва швидкість характеризує швидкість зміни радіус-вектора з часом. Модуль миттєвої швидкості. Слід мати на увазі, що в загальному випадку.

Рух матеріальної точки характеризується також прискоренням. Вектор прискорення визначає швидкість зміни вектора швидкості, отже, прискорення - це похідна швидкості за часом

Напрямок вектора прискорення збігається з напрямком вектора збільшення швидкості. Модуль вектора прискорення дорівнює

Таким чином, знаючи залежність радіус-вектора від часу, можна знайти швидкість і прискорення точки в кожен момент часу.

Можна поставити і зворотну задачу: знайти радіус-вектор і швидкість матеріальної точки, якщо відома залежність прискорення від часу. Для вирішення цього завдання недостатньо знати тільки залежність прискорення від часу, необхідно ще знати так звані початкові умови. а саме швидкість і радіус-вектор в деякий початковий момент часу. Розглянемо найпростіший випадок, коли в процесі руху прискорення залишається постійним. За проміжок часу елементарне прирощення швидкості

Проинтегрируем останній вираз, тоді отримаємо

де - постійна інтегрування. Її можна знайти з початкових умов: якщо при. то. отже,

Щоб знайти залежність від часу радіус-вектора, проинтегрируем рівняння

Після інтегрування отримаємо

де - постійна інтегрування. Так як при. . то. і, отже,

У цьому способі з обраним тілом відліку жорстко пов'язують певну систему координат. Вибір тієї чи іншої системи координат визначається низкою міркувань: характером або симетрією завдання, постановкою питання, а також прагненням спростити саме рішення. На практиці найбільш часто використовуються наступні системи координат: прямокутна декартова, циліндрична і сферична. На рис. 1.2 представлена ​​прямокутна декартова система координат. Розрізняють праву і ліву систему координат, які не можуть бути поєднані один з одним ніякими переміщеннями і обертаннями в просторі. Вони відрізняються напрямком осей координат. Система координат є правою, якщо при погляді на площину в позитивному напрямку осі суміщення осі з віссю по найкоротшому шляху відбувається в результаті обертання за годинниковою стрілкою, якщо проти - система вважається лівої. У фізиці найчастіше застосовується права система. У всякому разі необхідно знати, яка система координат використовується, так як при переході від правої до лівої системі координат в деяких формулах змінюються знаки.

Положення будь-якої точки в декартовій системі координат може бути охарактеризоване координатами При цьому радіус-вектор точки теж може бути виражений через її координати:

де. . - координатні орти, тобто одиничні вектори, спрямовані уздовж координатних осей, - проекції радіус-вектора на осі системи координат.

Вектор миттєвої швидкості можна знайти, продифференцировав радіус-вектор за часом:

З іншого боку, вектор швидкості можна розкласти по осях декартової системи координат

З зіставлення двох останніх виразів отримаємо, що проекції вектора швидкості на осі декартової системи координат визначаться наступним чином:

Продифференцировав вектор швидкості за часом, можна знайти вектор прискорення

Як і вектор швидкості можна розкласти по осях декартової системи координат

Тоді проекції вектора прискорення на осі декартової системи координат визначаться наступним чином:

Модулі векторів швидкості і прискорення можна визначити через їх проекції на осі декартової системи координат:

Напрямки цих векторів можна задати через напрямні косинуси:

де - кути між вектором швидкості і напрямами координатних осей.

Таким чином, знаючи. . . можна визначити вектора швидкості і прискорення. Крім того, можна вирішити і ряд інших питань: знайти траєкторію точки, залежність пройденого нею шляху від часу; залежність швидкості від положення точки та інші.

В циліндричній системі координат положення будь-якої точки також характеризується трьома числами. Цими числами є координата Z. відстань від проекції точки на площину XY до початку координат і кут між віссю X і прямий r (рис. 1.3). Ці координати пов'язані з декартовими наступними формулами перетворення:

У сферичній системі координат (рис.1.4). становище точки визначається відстанню r до початку координат і кутами і. Перетворення від сферичних до декартових координатах проводиться за формулами

Рішення оберненої задачі проводиться, як і у векторному способі опису руху, шляхом інтегрування.