Кільце (математика)

У різних розділах математики, а також в застосуванні математики в техніці, часто зустрічається ситуація, коли алгебраїчні операції проводяться не над числами, а над об'єктами іншої природи. Наприклад складання матриць, множення матриць, складання векторів, операції над многочленами, операції над лінійними перетвореннями і т.д.

Визначення 1. Кільцем називається безліч математичних об'єктів, в якому визначені два дії - "складання" і "множення", які зіставляють упорядкованим парам елементів їх "суму" і "твір", що є елементами того ж безлічі. Дані дії задовольняють наступним вимогам:

1. a + b = b + a (комутативність складання).

2. (a + b) + c = a + (b + c) (асоціативність додавання).

3. Існує нульовий елемент 0 такий, що a + 0 = a. при будь-якому a.

4. Для будь-якого a існує протилежний елемент -a такий, що a + (- a) = 0.

5. (a + b) c = ac + bc (ліва дистрибутивность).

5 '. c (a + b) = ca + cb (права дистрибутивность).

Вимоги 2, 3, 4 означають, що безліч математичних об'єктів утворює групу. а разом з пунктом 1 ми маємо справу з комутативність (абельовой) групою щодо складання.

Як видно з визначення, в загальному визначенні кільця на множення не накладаються ніяких обмежень, окрім дистрибутивности зі складанням. Однак при різних ситуаціях виникає необхідність розглядати кільця з додатковими вимогами.

6. (ab) c = a (bc) (асоціативність множення).

7. ab = ba (комутативність множення).

8. Існування одиничного елемента 1, тобто такого a · 1 = 1 · a = a. для будь-якого елемента a.

9. Для будь-якого елементу елемента a існує зворотний елемент a -1 такої, що aa -1 = a -1 a = 1.

У різних кільцях 6, 7, 8, 9 можуть виконуватися як окремо так і в різних комбінаціях.

Кільце називається асоціативним, якщо виконується умова 6, комутативним, якщо виконана умова 7, комутативним і асоціативним якщо виконані умови 6 і 7. Кільце називається кільцем з одиницею, якщо виконана умова 8.

1. Безліч квадратних матриць.

Дійсно. Виконання пунктів 1-5, 5 'очевидна. Нульовим елементом є нульова матриця. Крім цього виконується пункт 6 (асоціативність множення), пункт 8 (одиничним елементом є одинична матриця). Пункти 7 і 9 не виконуються тому в загальному випадку множення квадратних матриць некомутативними, а також не завжди існує зворотне до квадратної матриці.

2. Безліч всіх комплексних чисел.

3. Безліч всіх дійсних чисел.

4. Безліч всіх раціональних чисел.

5. Безліч всіх цілих чисел.

Приклади 2-5 є числовими кільцями. Числовими кільцями є також всі парні числа, а також всі цілі числа діляться без залишку на деяке натуральне число n. Відзначимо, що безліч непарних чисел не є кільцем тому сума двох непарних чисел є парним числом.