Якщо орт утворюють праву трійку, то система координат називається правою, якщо ліву, то - лівої

Ми будемо працювати тільки з правого системою координат (рис. 4.1).

Визначимо поняття координат вектора. Розглянемо довільний вектор. Наведемо його до початку координат, точці (рис. 4.1). Спроектуємо цей вектор на координатні осі. Складовими вектора по координатним осях є вектори:. а проекціями на координатні осі - числа. Ці проекції носять назви координатами вектора.

Визначення 4.1.Коордінатамівектора називаються його проекції на координатні осі. При цьому пишуть:

де Очевидно, координати нульового вектора рівні 0:

4.2. Розкладання вектора по ортам.
модуль вектора

1 0. Розкладання вектора по ортам. З прямокутного паралелепіпеда (рис. 4.1) слід:

Рівність (4.3) і є формула розкладання вектора по ортам координатних осей.

Таким чином, координатна запис вектора може бути здійснена двома способами:

2 0. Модуль вектора. Вектор є діагоналлю прямокутного паралелепіпеда (рис. 4.1). Квадрат довжини діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів:

звідси випливає: . і нарешті, отримуємо шукану формулу:

Модуль вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координат.

Лінійні операції над векторами.

Сформулюємо правила дій над векторами в координатній формі.

. Координати суми (різниці) векторів дорівнюють сумам (різницям) відповідних координат цих векторів.

При множенні вектора на скаляр його координати множаться на цей скаляр.

Якщо і - скалярна величина, то

Покажемо застосування розглянутого в цьому розділі матеріалу до вирішення практичного завдання.

Знайти: координати і модуль вектора

Рішення. Використовуємо координатну запис векторів і правила лінійних операцій над ними:

Модуль вектора обчислимо за формулою (4.4):

Направляючі косинуси вектора

Визначення 4.2.Направляющімі косинусами ненульового вектора називаються косинуси кутів, які цей вектор утворюють з осями координат (рис. 4.2).

Висловимо координати вектора через його модуль і кути:

За допомогою даних рівностей знайдемо виразу напрямних косинусів через координати вектора і його модуль:

Обчислимо суму квадратів напрямних косинусів вектора:

Отриманий результат в векторній алгебрі сформульований у вигляді наступного твердження:

Сума квадратів напрямних косинусів ненульового вектора дорівнює одиниці:

Завдання 4.2.Определіть напрямні косинуси вектора а також переконатися в справедливості тотожності (4.8).

Рішення. 1 0. Визначимо координати і модуль вектора:

2 0. Обчислимо напрямні косинуси вектора

3 0. Перевіримо справедливість тотожності (4.8):

4.5. Координати точки в просторі.
Обчислення координат вектора і його модуля
за координатами його початку і кінця.

Введемо поняття координат точки в просторі через поняття радіус-вектора.

Визначення 4.3.Радіус-вектором точки М називається векторс початком на початку координат і кінцем в точці М, тобто вектор (рис. 4.3).

Як координат точки М приймемо координати радіус-вектора.

Визначення 4.4.Коордінатамі точки в просторі називаються координати її радіус-вектора.

Координати точки М (рис. 4.3) позначаються символом:. або. Таким чином,

Поставимо задачу: знайти координати і модуль вектора. якщо відомі координати його початку і кінця: (рис. 4.4).

Рішення. Проведемо в точки А і В радіус-вектори і. висловимо координати вектора через координати векторів і (див. визначення 4.4), отримаємо:

Координати вектора дорівнюють відповідним різницям координат кінця та початку цього вектора.

Завдання 4.3.Дани дві точки: Знайти координати, розкладання по ортам координатних осей, модуль і напрямні косинуси вектора

Рішення. Для визначення координат вектора скористаємося формулою (4.9):

За формулою (4.4) обчислимо модуль вектора:

Знайдемо направляючі косинуси вектора:

Обчислимо суму квадратів напрямних косинусів: