Як порівнювати ступеня, логарифми

Як порівнювати ступеня з однаковими підставами? З однаковими показниками? Чи можна порівняти ступеня, якщо і підстави, і показники різні?

Як і порівняння логарифмів. порівняння ступенів заснована на властивості показовою функції.

Порівняння ступенів з підставами

• Якщо основа ступеня більше одиниці (a> 1), показова функція зростає, більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, відповідно, знак нерівності між показниками ступенів і між ступенями однаковий.

• Якщо основа ступеня менше одиниці (0

За допомогою схеми порівняння ступенів з рівними підставами можна зобразити так:

№1. Порівняти значення виразів:

Порівнюємо показники ступенів: 1,5<1,9.

Підстава a = 2/7 менше одиниці, функція спадає, знак нерівності між ступенями змінюється на протилежний:

Порівнюємо показники ступенів:

Підстава a = 5,2 більше одиниці, функція зростає, знак нерівності між ступенями не змінюється:

№2. Порівняти показники m і n, якщо відомо, що для ступенів виконується нерівність:

Підстава a = 0,21<1, функция убывает, поэтому знак неравенства между показателя степеней нужно изменить на противоположный: m>n.

функція зростає, тому знак нерівності між показниками ступенів не змінюється: m

Порівняння ступенів з однаковими показниками.

1) Для зростаючих функцій (x> 0):

Для позитивних значень аргументу

Для від'ємних значень аргументу

2) Для спадних функцій:

Для позитивних значень аргументу

Для від'ємних значень аргументу:

Як порівнювати ступеня, якщо і підстави, і показники різні?

Можна спробувати, наприклад, порівняти кожну зі ступенів з одиницею. Будь-яка ступінь з основою, великим одиниці, при позитивних значеннях аргументу приймає значення, великі одиниці:

при негативних - менші 1:

Якщо основа менше одиниці - відповідно,

В алгебрі порівнювати ступеня найчастіше доводиться при вирішенні показових нерівностей.

Як вирішувати показові нерівності, ми розглянемо пізніше.