Як побудувати точку, симетричну відносно прямої
Завдання полягає в тому, щоб знайти координати точки. яка симетрична точці відносно прямої. Пропоную виконати дії самостійно, проте позначу алгоритм рішення з проміжними результатами:
1) Знаходимо пряму. яка перпендикулярна прямій.
2) Знаходимо точку перетину прямих:.
Обидва дії детально розібрані в рамках даного уроку.
3) Точка є серединою відрізка. Нам відомі координати середини і одного з кінців. За формулами координат середини відрізка знаходимо.
Не зайвим буде перевірити, що відстань теж одно 2,2 одиницям.
Труднощі тут можуть виникнути в обчисленнях, але в вишці здорово виручає мікрокалькулятор, що дозволяє вважати звичайні дроби. Неодноразово радив, пораджу і знову.
Як знайти відстань між двома паралельними прямими?
Знайти відстань між двома паралельними прямими
Це черговий приклад для самостійного рішення. Трохи підкажу: тут нескінченно багато способів вирішення. Розбір польотів у кінці уроку, але краще постарайтеся здогадатися самі, думаю, вашу кмітливість вдалося непогано розігнати.
Кут між двома прямими
Що не кут, то косяк:
В геометрії за кут між двома прямими приймається МЕНШИЙ кут, з чого автоматично випливає, що він не може бути тупим. На малюнку кут, позначений червоною дугою, не рахується кутом між пересічними прямими. А вважається таким його «зелений» сусід або протилежно орієнтований «малиновий» кут.
Якщо прямі перпендикулярні, то за кут між ними можна приймати будь-який з 4-х кутів.
Чим відрізняються кути. Орієнтацією. По-перше, принципово важливим є напрямок «прокрутки» кута. По-друге, негативно орієнтований кут записується зі знаком «мінус», наприклад, якщо.
Навіщо я це розповів? Начебто можна обійтися й звичайним поняттям кута. Справа в тому, що в формулах, за якими ми будемо знаходити кути, запросто може вийти негативний результат, і це не повинно застати вас зненацька. Кут зі знаком «мінус» нічим не гірше, і має цілком конкретний геометричний сенс. На кресленні для негативного кута слід обов'язково вказувати стрілкою його орієнтацію (за годинниковою стрілкою).
Як знайти кут між двома прямими? Існують дві робочі формули:
Знайти кут між прямими
Рішення і Спосіб перший
Розглянемо дві прямі, задані рівняннями в загальному вигляді:
Якщо прямі не перпендикулярні. то орієнтований кут між ними можна обчислити за допомогою формули:
Найбільш пильну увагу звернемо на знаменник - це в точності скалярний твір напрямних векторів прямих:
Якщо. то знаменник формули наближається до нуля, а вектори будуть ортогональні і прямі перпендикулярні. Саме тому зроблено застереження про неперпендикулярності прямих в формулюванні.
Виходячи з вищесказаного, рішення зручно оформити в два етапи:
1) Обчислимо скалярний твір напрямних векторів прямих:
. значить, прямі не перпендикулярні.
2) Кут між прямими знайдемо за формулою:
За допомогою зворотного функції легко знайти і сам кут. При цьому використовуємо непарність арктангенса (див. Графіки і властивості елементарних функцій):
У відповіді вказуємо точне значення, а також наближене значення (бажано і в градусах, і в радіанах), обчислене за допомогою калькулятора.
Ну, мінус, так мінус, нічого страшного. Ось геометрична ілюстрація:
Не дивно, що кут вийшов негативною орієнтації, адже в умові завдання першим номером йде пряма і «откруткі» кута почалася саме з неї.
Якщо дуже хочеться отримати позитивний кут, потрібно поміняти прямі місцями, тобто коефіцієнти взяти з другого рівняння. а коефіцієнти взяти з першого рівняння. Коротше кажучи, почати необхідно з прямою.
Приховувати не буду, сам підбираю прямі в тому порядку, щоб кут вийшов позитивним. Так красивіше, але не більше того.
Для перевірки рішення можна взяти транспортир і виміряти кут.
Якщо прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом і не перпендикулярні. то орієнтований кут між ними можна знайти за допомогою формули:
Умова перпендикулярності прямих виражається рівністю. звідки, до речі, слід дуже корисна взаємозв'язок кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих:. яка використовується в деяких завданнях.
Алгоритм рішення схожий на попередній пункт. Але спочатку перепишемо наші прямі в потрібному вигляді:
Таким чином, кутові коефіцієнти:
1) Перевіримо, чи будуть прямі перпендикулярні:
. значить, прямі не перпендикулярні.
2) Використовуємо формулу:
Другий спосіб доречно використовувати тоді, коли рівняння прямих спочатку задані з кутовим коефіцієнтом. Слід зазначити, що якщо хоча б одна пряма паралельна осі ординат, то формула не може бути застосована взагалі, оскільки для таких прямих кутовий коефіцієнт не визначений (див. Статтю Рівняння прямої на площині).
Є і третій спосіб вирішення. Ідея полягає в тому, щоб обчислити кут між напрямними векторами прямих за допомогою формули, розглянутої на урокеСкалярное твір векторів:
Тут уже мова йде не про орієнтованому вугіллі, а «просто про вугілля», тобто результат явно буде позитивним. Заковика полягає в тому, що може вийти тупий кут (не той, який потрібен). В цьому випадку доведеться робити застереження, що кут між прямими - це менший кут, і з «пі» радіан (180-ти градусів) віднімати вийшов арккосинус.
Бажаючі можуть прорешать завдання третім способом. Але я рекомендую все-таки дотримуватися першого підходу з орієнтованим кутом, з тієї причини, що він широко поширений.
Знайти кут між прямими.
Це приклад для самостійного рішення. Спробуйте вирішити його двома способами.
До зустрічі!
І пам'ятайте, Бабу-Ягу ніхто не відміняв =)
Рішення і відповіді:
Приклад 3: Рішення: Знайдемо спрямовує вектор прямої:
Рівняння шуканої прямої складемо по точках направляючої вектору. Так як одна з координат направляючого вектора нульова, уравненіеперепішем у вигляді:
відповідь:
Приклад 5: Рішення:
1) Рівняння прямойсоставім по двох точках:
2) Рівняння прямойсоставім по двох точках:
3) Відповідні коефіцієнти при переменнихне пропорційні :, значить, прямі перетинаються.
4) Знайдемо точку:
Примітка: тут перше рівняння системи помножене на 5, потім з 1-го рівняння почленно вирахувано 2-е.
відповідь:
Приклад 9: Рішення: Відстань між паралельними прямими знайдемо як відстань від точки до прямої. Для цього достатньо знайти одну точку, що належить будь-який з прямих. З метою зручного підбору точки перепишемо рівняння вигляді рівняння з кутовим коефіцієнтом :. Крапка. Обчислимо відстань:
Останньою дією чисельник і знаменник помножений на- щоб позбутися від ірраціональності в знаменнику.
відповідь:
Приклад 11: Рішення:
спосіб перший
1) Обчислимо скалярний твір напрямних векторів прямих:
, значить, прямі не перпендикулярні.
2) Кут між прямими знайдемо за допомогою формули:
Таким чином:
відповідь:
Спосіб второйпріменіть не можна, так як прямаяпараллельна осі ординат, і її кутовий коефіцієнт не визначений.