Як доводити рівність множин

Багато математичні твердження, в тому числі і багато теореми в цій книзі, мають наступну форму. Дано різні визначення двох множин A і B. Потрібно довести, що A = B.

Стандартний спосіб докази такого твердження полягає в доказі двох тверджень про включених:

Докази цих включень проводяться за такою схемою: розглядається довільний елемент, що задовольняє визначенню меншого безлічі (зліва від знака), і встановлюється, що він задовольняє також визначенню більшого безлічі (праворуч від знака).

Як приклад доведемо одне з властивостей (законів) дистрибутивности для операцій об'єднання і перетину:

1. Нехай a - довільний елемент з Тоді за визначенням операції маємо або В першому випадку з того ж визначення виводимо, що і Але тоді по визначенню операції отримуємо, що У другому випадку з визначення випливає, що і З цього і з визначення знову слід, що і та Таким чином, ми встановили, що

2. Нехай тепер Тоді за визначенням операції маємо і Якщо то обидва ці включення виконані. Але тоді Якщо ж то з першого включення слід, що а з другого - Отже, і Таким чином, і наше твердження доведено.

Використовуючи цю ж схему, можна встановити багато інших властивостей введених вище операцій над множинами та зв'язків між ними.