Інтервали знакопостоянства функції

Визначення 8. Інтервали, в яких функція зберігає певний знак, називаються інтервалами знакопостоянства даної функції.

Очевидно, що графік функції лежить вище осі абсцис, коли і нижче, коли Функція змінює свій знак при переході через нулі функції або через точки розриву. На інтервалі, де функція неперервна і не має нулів, її знак зберігається.

2.7.1. Алгоритм знаходження інтервалів знакопостоянства

1) Знайти область визначення функції

2) Вирішити рівняння коріння рівняння, що входять в будуть нулями функції.

3) На числову пряму нанести область визначення функції і нулі функції. В отриманих інтервалах визначити знак функції.

4) Вказати інтервали знакопостоянства функції.

Приклад 2.5. Знайти інтервали знакопостоянства функції.

1. Область визначення функції

2. Вирішимо рівняння Нулями функції є точки

початку координат (т. е. пряма, до якої крива графіка необмежено наближається). Розрізняють вертикальні, горизонтальні і похилі асимптоти. Визначення 14. Говоритимемо, що пряма є вертикальною асимптотой графіка функції якщо (рис. 5).

Т е о р е м а 4. Пряма є похилій асимптотой графіка функції (рис. 5) тоді і тільки тоді, коли існують кінцеві межі

Якщо хоча б один з меж не існує (або дорівнює нескінченності), то графік функції не має похилій асимптоти.

1. З визначення випливає, що вертикальні асимптоти потрібно шукати в точках нескінченного розриву функції (в точках розриву другого роду). При наближенні до точки розриву (хоча б з однією із сторін - зліва чи справа) прямує до нескінченності графік функції необмежено наближається до прямої

2. Графік функції може мати будь-яке число вертикальних асимптот або взагалі не мати.

3. Для з'ясування питання про наявність асимптоти слід окремо розглядати межі при і В зв'язку з цим функція може

- мати одну і ту ж похилу асимптоту при (рис.6, а);

- мати різні похилі асимптоти при і (рис. 6, б);

-мати похилу асимптоту тільки при або при (рис. 6, в).

4. Окремим випадком похилої асимптоти (при) є горизонтальна асимптота. Пряма є горизонтальною асимптотой графіка функції при тоді і тільки тоді, коли

5. Графік функції може перетинатися з похилою і горізонтальнойасімптотамі в кінцевому або нескінченному числі точок.

1) Знайти область визначення функції.

2) Визначити наявність точок розриву другого роду (див. Зауваження 1).

3) Для рівняння похилій асимптоти знайти

(Якщо вони існують). Зробити висновок.

П р и м і р 2.7. Знайти асимптоти графіка функції:

1) Знайдемо область визначення функції

2) Рівняння вертикальної асимптоти так як

(Т. Е. В точці - розрив другого роду).

3) Рівняння похилої асимптоти

Отже, - похила асимптота графіка функції.

2) - вертикальна асимптота, так як

3) З'ясуємо питання про наявність похилої асимптоти при тому що функція визначена лише при

Отже, графік даної функції не має похилій асимптоти (див. Теорему 4).