Інтегрування раціональних дробів, вища математика
ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ДРОБІВ
Правильні і неправильні дроби
Раціональної дробом називається вираз виду, де P (x) і Q (x) - многочлени. Раціональний дріб називається правильною. якщо ступінь багаточлена P (x) в її чисельнику менше ступеня многочлена Q (x) в знаменнику. В іншому випадку дріб називається неправильним. Будь-яка неправильна раціональний дріб за допомогою ділення чисельника на знаменник приводиться до вигляду де - многочлен (ціла частина при діленні), а - правильна раціональна дріб (залишок). Тому Так як інтеграл обчислюється елементарно (зводиться до суми табличних), то інтегрування неправильного дробу зводиться до інтегрування правильного дробу. Інтегрування правильної раціональної дробу зводиться, в свою чергу, до інтегрування найпростіших дробів.
Розкладання правильної дробу на найпростіші дроби
Правильні дроби наступних чотирьох типів називаються найпростішими (або елементарними) дробом: I.
IV. При цьому передбачається, що A, B, p, q - дійсні числа, а квадратний тричлен в дробах III і IV типів не має дійсних коренів (тобто). Кожна правильна дріб може бути представлена у вигляді суми найпростіших дробів зазначених чотирьох типів. А саме: якщо знаменник даної правильної дробу розкладений на неповторним лінійні і квадратні множники де - натуральні числа, то цей дріб можна представити у вигляді такої суми найпростіших: Коефіцієнти в розкладанні знаходяться за допомогою методу невизначених коефіцієнтів або методу приватних значень. Загальна кількість цих коефіцієнтів дорівнює ступеню многочлена Q (x). Таким чином, інтегруючи правильну дріб, ми спочатку розкладаємо її на суму найпростіших, а потім інтегруємо кожний доданок в цьому розкладанні. Обчислюючи інтеграли від найпростіших дробів, треба мати на увазі, що: I. Найпростіші дроби перших двох типів - майже табличні: 1.Замечаніе.2.Замечаніе.II. При інтегруванні найпростішої дробу третього типу необхідно виділити повний квадрат з виразу і зробити відповідну підстановку. Останній вираз в дужках, за припущенням, є число позитивне, його можна покласти рівним, якщо взяти Тепер вдамося до підстановці Таким чином будемо мати: або, повертаючись до і підставляючи замість його значення: Висновок. При інтегруванні дробів третього типу в загальному вигляді отримуємо суму натурального логарифма і арктангенса. Приклад. (8.3.6) почленно розділивши чисельник на знаменник, отримуємо використовуючи властивість інтегралів: інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій, тобто далі повертаючись до початкової змінної х отримуємо (в першому вираженні спочатку до змінної t, а потім до х): Далі розглянемо інтегрування правильних дробів, які представляються у вигляді суми найпростіших дробів зазначених чотирьох типів 1. Підінтегральна дріб - правильна. Розкладемо її на суму найпростіших дробів першого типу: Для того, щоб знайти невідомі коефіцієнти А і В, наведемо дробу в правій частині рівності до спільного знаменника, звідки тобто З отриманої рівності можна знайти коефіцієнти А і В двома способами: за допомогою методу невизначених коефіцієнтів або методу приватних значень. Розглянемо обидва способи. 1. Метод невизначених коефіцієнтів. Розкриваємо дужки в правій частині рівності (*) і згрупуємо члени з однаковими ступенями: Так як многочлени в обох частинах отриманого рівність тотожно рівні, то у них повинні бути рівні і коефіцієнти при відповідних ступенях змінної х. Порівнюючи ці коефіцієнти, отримуємо систему двох рівнянь: Вирішуючи цю систему, знайдемо А = 5, В = 2. 2. Метод приватних значень. Додамо невідомої х в рівність (*) приватне значення х = 3. Тоді одержимо звідки А = 5. Підставляючи тепер в рівняння (*) значення х = -2 (найзручніше підставляти значення, звертають одну або кілька дужок в правій частині рівності в нуль; ці значення збігаються з дійсними коренями знаменника підінтегральної дробу), отримаємо звідки В = 2. Таким чином, тоді,