И сохр-я і симм-я витягну-ства і часу
Закони збереження та симетрія простору і часу.
17.1. Закони збереження.
Ми розглянули три закони збереження, що виконуються для замкнутих систем: закони збереження енергії, імпульсу і моменту імпульсу.
У механіці (і в фізиці, взагалі) функції координат і швидкості, які зберігають при русі постійні значення і залежать тільки від початкових умов, називають інтегралами руху.
Однак не всі інтеграли руху грають в механіці однаково важливу роль. Серед них є три. походження яких має глибокий фізичний зміст: вони пов'язані з фундаментальними властивостями простору і часу - їх однорідністю і ізотропності. Всі ці зберігаються величини мають важливе загальне властивість - адитивність. тобто їх значення для системи, що складається з частин, взаємодією яких можна знехтувати (воно не впливає на процес руху), дорівнює сумі значень для кожної з цих частин. Саме властивість адитивності дозволяє розглядаються величинам грати в механіці особливо важливу роль.
Дуже часто зустрічається твердження, що закони збереження є наслідком однорідності і ізотропності простору і часу. Однак було б невірно думати, що тільки зазначених властивостей простору і часу достатньо, щоб вивести ці закони збереження. Всі перераховані закони є наслідком законів руху (наприклад, 2-го закону Ньютона). Тому справедливим є таке твердження:
закони збереження можна отримати з 2-го закону Ньютона, якщо розглядати його у взаємозв'язку з властивостями симетрії простору і часу.
17.2. Симетрія простору і часу.
Під симетрією простору і часу ми будемо розуміти однорідність простору і часу, а також ізотропних простору. Що таке однорідність часу, простору і ізотропних простору? Пояснимо, який сенс вкладено в ці поняття.
1) Однорідність часу означає, що якщо в два будь-які моменти часу все тіла замкнутої системи поставити в абсолютно однакові умови, то, починаючи з цих моментів, все явища в цій системі будуть протікати абсолютно однаково.
2) Однорідність простору означає, що якщо замкнуту систему тел перенести з одного місця простору в інше, поставивши при цьому всі тіла в ній в ті ж умови, в яких вони перебували в колишньому положенні, то це не відіб'ється на ході всіх наступних явищ.
3) Ізотропності простору означає, що якщо замкнуту систему тел повернути в просторі на будь-який кут, поставивши при цьому всі тіла в ній в ті ж умови, в яких вони перебували в колишньому положенні, то це не відіб'ється на ході всіх наступних явищ.
Ці властивості простору і часу - фундаментальне узагальнення досвідчених фактів.
17.3. Однорідність простору і закон збереження імпульсу.
Отже, в силу однорідності простору механічні властивості замкнутої системи не змінюються при будь-якому паралельному перенесенні системи як цілого в просторі.
Перенесемо систему з довільного положення
Діючі в замкнутій системі сили
Оскільки простір однорідний, при перенесенні всіх частки системи в просторі на одне і те ж відстань
для довільного
.
Тоді з другого закону Ньютона отримуємо закон збереження імпульсу:
З проведеного розгляду випливає ще один важливий результат.
Оскільки сума всіх сил, що діють в замкнутій системі дорівнює нулю, то можна записати
де
Переписуючи це умова інакше
в силу незалежності взаємодії кожної з пар частинок один з одним отримуємо 3-ий закон Ньютона:
Для замкнутої системи закон збереження імпульсу формально випливає з 2-го закону Ньютона, якщо припустити, що всі діючі сили підпорядковуються закону рівності сил дії і протидії (3-й закон Ньютона).
однак виконання 3-го закону Ньютона, як і закону збереження імпульсу, обусловлениоднородностью простору.
Примітка. Якщо носіями імпульсу є не тільки матеріальні тіла, але і поле, то 3-ий закон Ньютона в цьому формулюванні непридатний.
У той же час, з огляду на внесок поля, для замкнутої системи тіл з однорідності простору ми знову отримаємо закон збереження імпульсу:
17.4. Ізотропності простору і закон збереження моменту імпульсу.
Ізотропності простору означає, що при повороті замкнутої системи на будь-якої кут в просторі всередині цієї системи не відбудеться ніяких змін.
Для замкнутої системи тіл момент зовнішніх сил
Внаслідок изотропности простору всередині самої системи ніяких змін при цьому повороті не відбувається, тобто робота сил, що діють всередині системи, повинна бути дорівнює нулю:
.
В силу довільності кута
І звідси випливає закон збереження моменту імпульсу:
17.5. Закон збереження енергії і однорідність часу.
Розглядаючи завдання динаміки, ми отримали наслідок 2-го закону Ньютона - робота сил, що здійснюються над механічною системою, дорівнює приросту її кінетичної енергії:
Проведемо спочатку розгляд від імені однієї матеріальної точки.
нехай на
У найзагальнішому випадку потенційна енергія (наприклад, для незамкненою системи) може залежати не тільки від координат, але і ще від часу: і повний приріст потенційної функції включає також і похідну за часом (тобто вводимо повний диференціал функції 4-х змінних ):
На кінцевому переміщенні матеріальної точки з положення
Для замкнутої системи тіл робота сил на цьому переміщенні представляється інтегралом
додамо і віднімемо в правій частині приватну похідну по часу, тоді
Підсумовуючи по всім матеріальним точкам системи, отримуємо з рівності робіт
Отриманий результат справедливий і для незамкнутих систем.
Звернемося знову до замкнутій системі тіл і використовуємо властивість однорідності часу.
Однорідність часу полягає в тому, що, починаючи з будь-якого моменту часу розвиток подій має відбуватися однаковим чином, тобто в силу однорідності часу потенційна енергія замкнутої системи тіл (матеріальних точок) не може явно залежати від часу
Звідки отримуємо закон збереження енергії:
Замість висновку. між рівняннями динаміки і законами збереження має місце суттєва різниця.
Закони динаміки дають нам уявлення про детальний ході процесу. Закони збереження обумовлені фундаментальними властивостями простору і часу і тому вони універсальні і загальним. Але вони не дають вказівок на детальний хід того чи іншого процесу. Вони говорять лише про те, які процеси заборонені в природі. Закони збереження виступають як заборони (обмеження)! Якщо, наприклад, з'ясовується, що якийсь процес суперечить законам збереження, то відразу можна стверджувати: цей процес неможливий, і безглуздо намагатися його здійснити.